教学研讨｜4.2.1等差数列的概念 第2课时（2019版新教材）

导读：

    教材从“数”和“形'两个方面来发现和证明性质

   （数）通过运算、代数变换发现和证明性质；

   （形）利用等差数列与一次函数的联系，让学生能借助函数的图像和性质发现或理解数列的性质。

研讨素材一

一、教材分析

教材截图

（考虑到研讨时部分教师未带有2019版课本，这里对教材截个图）

教材分析：

   例3和例4分别体现了等差数列在解决实际问题、构造新数列方面的应用,例5则探究了等差数列的性质,这三道例题比前两道例题的难度高,建议教学中单独用一个课时讲授.

   例3要求学生将实际问题转化成一个等差数列问题,并利用不等式求解.转化的关键是发现实际问题中呈等差关系变化的量（即这台设备使用n年后的价值),并构造等差数列（首项为220-d,公差为-d的等差数列)来刻画它,这样就可以利用等差数列的通项公式来解决问题了.

   教学中应注意引导学生类比建立函数模型刻画现实世界的变化规律,再利用函数的性质解决问题的过程,经历建立等差数列模型解决实际问题的过程.学生可能认为没有必要构造数列,在解题中也可能因为没有设定数列的首项,致使后面不能准确地运用给出的条件列出不等式组.教学中要让学生完整地经历将实际问题中的等差关系转化为等差数列的过程,养成学生严密思考表述问题的良好习惯.

   例4先利用一个已知的等差数列构造了一个新数列,然后利用原有数列的性质来研究新数列的性质.由第（1）题的条件，揷人数后构成的新数列是等差数列,所以只要利用原数列的第2项是新数列的第5项,就可以确定新数列的公差,进而得到新数列的通项公式.“边空”中的问题是对第(1)题的一种推广.

   教学时,要让学生明确k=1就是在原数列的每相邻两项间都揷人1个数,k=2就是揷人2个数,k=3就是本例.解决这个问题时,可以让学生分两步来走:

   (1)在本例给出的中求解,即设数列的公差为,则,由,及,可得公差;

   (2)在首项为a,公差为d的数列中每相邻两项之间都插入个数,这时求得的公差.

   例4的第（2）题的解答用不完全归纳的方法,探究了中的项在新数列中的分布规律,这个规律就是的各项在中的位置依次构成了一个首项为1,公差为4的等差数列.教学中,也可以让学生从开始写出的若干项,以发现这个规律.对于“边空”中的问题,即寻求本小题的其他解法的问题,考虑到判断某一个具体的数是不是中的项,其实是本节的例2已经解决的问题.可以先通过的通项公式求出这个数,再利用的通项公式进行判断.

   例5以例题的形式给出了等差数列的一个重要性质,同时也体现了如何运用等差数列的通项公式推导等差数列的性质.设计本例的目的,既是让学生进一步认识等差数列的性质,同时也是让学生了解一些数列的结论的证明方法,并且也为后面推导求和公式打下基础.教学中,可以让学生体会,用“基本量”表示数列中的项在证明数列问题时的重要性,等差数列中常将首项和公差作为基本量.

   教材帮助学生从“式”和“形”两个方面来认识例5中的性质，思考栏目让学生从几何的角度来解释这一性质.这样做的目的是给学生作出示范—在研究数列的过程中,可以借助几何直观来理解数列的性质.

   教学中,教师要启发学生认识到,由于等差数列的图象是均匀分布在某一条直线上的点,所以对于教材图4.2-2所示的情形,将和分别看作直角梯形的两条底边的长,那么和可以分别看作两个梯形的中位线长的两倍.由于p+q=s+t,所以这两个直角梯形有相同的中位线,进而得到.学生可能会提出“图中给出的问题只是一种特殊的情形,中可能有若干个是负数,这就不方便用梯形中位线来解释了”.这时,可启发学生考虑将中的每一项都加上同一个适当的正常数d,这相当于把它们所在的直线向上平移一段距离,使都变为正数.这样一来,图4.2-2中的情形就不失一般性了.