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摘要 本文主要介绍了置换矩阵的性质并给出了两个具体的习题以及解答. 置换矩阵是一类特殊的矩阵,它的特点是每行每列中都各只有一个元素为1,其余元素为0.循环矩阵是特殊的置换矩阵,为了进一步介绍置换矩阵,我们首先引入置换群的概念: 定义1 有限集合到自身上的一个双射称为上的一个置换(Permutation), 集合的全体置换构成的集合记为. 对任一 , 是 的一个全排列; 反之, 对的任一全排列 , 定义, 则是的一个置换.因此,我们可以把 的置换和全排列等同起来.设 与 的乘积 定义为 (映射的复合), 容易验证 且乘法满足结合律. 设 为恒等映射, 即 , 则 因为 是双射,所以其逆映射 也是双射, 即 , 并且满足 ,故 阶置换全体构成阶为的群(群中元素个数),称为 阶对称群. 下面我们给出置换矩阵的定义: 定义2 设 是 维标准单位列向量, , 定义矩阵 称为相伴于置换 的 阶置换矩阵. 阶置换矩阵 全体 构成一个群.置换矩阵有如下性质: (T1) 第一类初等矩阵 和基础循环矩阵 都是置换矩阵. (T2) , 其中 是 作为全排列的逆序数. (T3) . (T4) 的列向量是 的列向量的一个置换; 的行向量是 的行向量的一个置换. 基于部分抽象代数的知识,我们给出简要证明如下: 证明 (T1)直接按定义验证即可. (T2)由行列式组合定义得到在展开式的项中,只有项不为0,故. (T3)我们验证,注意到 于是.(T4)设的列分块为,则 是的列向量的一个置换,同理可证行向量的情形.置换矩阵的应用是丰富的,我们进一步给出两个具体的例子: 例1(华东师范大学2019年研究生入学考试高等代数第1题) 实矩阵以为圆心逆时针旋转得到矩阵, (1) 求矩阵的行数和列数; (2) 求与的关系？并解释原因; (3) 设,问与的关系?并证明. 证明 容易得到 这相当于对进行转置后再左乘一个置换矩阵,这些操作不改变矩阵的秩,于是, 若,则有 其中是置换矩阵(反单位阵),两边取行列式得到 例2(复旦大学2019级高等代数I每周一题第4题) 试求与全体置换矩阵都乘法可交换的所有的阶方阵. 我们提供如下三种解法: 方法I(置换矩阵的性质) 由于,于是,考察对应元素得到 于是当时,存在,使得,其中,故非对角元的元素值相等;当时,注意到主对角线上元素都相等,即方法II(置换矩阵的性质) 利用任一置换矩阵可以分解为有限多个第一类初等矩阵的乘积,于是只要与所有第一类初等矩阵可交换即可,比较对应位置的元素得到的所有对角线位置元素相同,所有非对角元位置的元素也都相同. 方法III(置换群的性质) 注意到,这表明全体置换矩阵可由循环矩阵与置换矩阵生成,于是只需要考虑满足的全体,比较对应位置的元素得到的所有对角线位置元素相同,所有非对角元位置的元素也都相同. 注记 方法III中的的证明请参看[3],在此不再叙述. 置换矩阵将高等代数与抽象代数紧密地联系在了一起,这意味着在学习的时候我们要将代数学作为整体进行学习. 参考文献 [1]姚慕生、吴泉水、谢启鸿,《高等代数学 (第三版)》,复旦大学出版社,2014年 [2]姚慕生、谢启鸿,《高等代数学习指导书(第三版)》,复旦大学出版社,2015年 [3]杨劲根,《近世代数讲义》,科学出版社,2009年 [4]谢启鸿高等代数博客 https://www.cnblogs.com/torsor/ |
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