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正方形、等腰直角三角形、等边三角形中的点在线段或其延长线上的分类讨论问题

 妍小青 2021-12-04
等腰直角三角形、正方形和等边三角形由于其特性(特殊角、特殊边),因此常常会和旋转、翻折等问题结合起来,并且常常同“点在线段或其延长线上”的分类讨论问题相融合。解决这类问题,就要发现在“变化图形”中“不变的等量关系”。

解法分析:本题是等腰直角三角形背景下的问题。点D分别在线段AB、AB延长线及AB反向延长线上运动。利用角的数量关系以及等腰直角形的相关性质,我们可以发现其中蕴含的不变关系是:∠FBA=∠ACD,AB=AC,△ABF≌△ACD。 变化关系是:AB、AF和BD间的数量关系。

解法分析:本题是等边三角形背景下的图形运动问题。其中点D线段AM、D在AM延长线以及D在MA延长线上。利用角的和差关系以及等边三角形的相关性质,我们可以发现其中蕴含的不变关系是:∠BCE=∠ACD,BC=AC,CD=CE,△BCE≌△ACD,∠AOB的度数。变化的仅仅是图形的位置。

解法分析:本题是正方形背景下的线段相等问题。其中可以利用角的数量关系得到∠BAM=∠CMN,∠MCN=135°,联想到“一线三直角”模型,因此考虑到过点N作BC的垂线,但是由于缺少边的条件,因此无法证明△ABM≌△MNH。所以本题可以考虑利用截取的方法构造全等三角形。

解法分析:本题是原题的变式,此时M在BC的延长线上,沿用原题的方法,构造与△MCN全等的三角形,与原题相比,不变关系是:∠P=∠MCN,BP=BM,∠PAM=∠CMN,△PAM≌△CMN,辅助线的构造方式变化的仅仅是图形的位置。

解法分析:本题是原题的变式,此时M在CB的延长线上,沿用原题的方法,构造与△MCN全等的三角形,与原题相比,不变关系是:∠P=∠MCN,BP=BM,∠PAM=∠CMN,△PAM≌△CMN,辅助线的构造方式变化的仅仅是图形的位置。

解法分析:本题是原题的变式,根据题意,不变关系∠PAM=∠CMN,但是新增加了一组等量关系,即AM=MN,因此既可以通过截长补短法添加辅助线,又可以通过一线三直角构造辅助线。


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