 根据定义判断下列无穷积分的敛散性，在收敛的情况下求他们的值； 解答 解： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 令 (7) (8) 这个题比较简单，两次换元令即可，略 (9) 令,原始化简为： (10) 习题2 利用递推公式计算下列无穷积分 解答 （1） （2） 换个元令,用Wallis公式 （3） 这个题要想直接递推是有困难的，因为相应的分部积分公式做不下去，于是我们将其分解为n个分数相加 但是这里的该怎么确定呢？这里给出吉米多维奇上的一种方法: 两边同时乘,所以有 令,可以得出，接下来重复此过程，对原始的式子，继续乘，然后令... 利用二项式定理,令得， 所以 把套进去即可（4） 换个元令,用Wallis公式 判断下列无穷积分的敛散性 解答 注：这道题大多数都是用幂比较判别法，所以下边一些题我直接说成等价，不给出详细的步骤 (1):等价于敛散性，故收敛 (2):等价于敛散性，故收敛，发散 (3):等价于敛散性，故收敛，发散 (4):当存在 故收敛，下证反之发散，当时,有 当时是可以正常算原函数的，发散，所以 (5):首先必然收敛，下证反之发散，当时,有,利用比较判别法 单独讨论，发散，故发散 (6):等价于的敛散性，所以收敛，反之发散 (7):等价于的敛散性 (8):注意到： 习题4 判断下列无穷积分的绝对收敛性和条件收敛性 解答 这道题将和9.2,9.3的讨论放在一起，在此不给出答案 习题5 设都是区间上的连续函数，且又设和都收敛，证明积分也收敛 解答 因为 收敛，整个积分值根据判别法也是收敛的，所以 习题6 设都是区间上的连续函数，且当时有极限.证明收敛 解答 换元，令,所以可得： 根据Abel判别法：收敛，而是单调有界的，故仍收敛 习题7 设在区间上可微且导函数在任意有限区间上可积.又设在区间上单调递减，
且.证明：积分收敛的充要条件是积分收敛. 解答 解： 必要性：当收敛时，根据分部积分公式 又因为 所以存在，所以收敛 充分性：对使用分部积分 由柯西收敛准则，,当时，有 故对于,有 所以,同上 习题8 设都是区间上的非负连续函数，且积分收敛，能否据此得出下列结论 解答 (1):不能,例 (2):可以 模仿可积函数必有界，利用反证法，如果无界必发散(征集一个证明) 习题9 (1):设积分收敛，且设在区间上一致连续，证明： (2):设积分和收敛,证明： 解答 (1):反证法：假设不是这样的，则必有由一致连续可得 对时，所以 当，有： 不妨设,则有 这与柯西收敛准则是违背的，当是同样的 (2):先有收敛说明广义积分收敛，这是必要且容易的 则,这说明了极限的存在性，再证明极限是0, 如果不是0，则：,可以得到是发散的，这与题目矛盾，所以极限为0 习题10 设都是区间上恒取正值且在任意有限区间上可积，又设 证明：当时积分收敛，当该积分发散 解答 必然可以在之间找一个数,使,当时，,所以有 根据比较判别法可知它收敛 当时，必然可以之间找一个数，使,当时，,所以有 根据比较判别法可知它发散 习题11 设都是区间上恒取正值且在任意有限区间上可积，又设存在函数使对任意成立 证明：积分收敛 解答 解：假设积分不收敛，则必然有,使 ,使 有这样一些列的数列,使： 注意到M是一个固定的常数，所以 取,则 这与题目是矛盾的 习题12 设任意有限区间上可积,且.证明： 解答 注意到：(正常积分)，根据极限定义，所以 注意到直接是小于的(积分中值定理)，再证左半部分也是小于 (注意到这是个定积分) 两部分都是小于于，所以极限为0，简单化简就是题目 (2)是同理的，证明略 这一块写题和打题花了近一天时间个人感觉这一节不论是不定积分的难度还是后面的证明题，难度明显比较大，尤其是后面两题，个人也是翻阅了习题课笔记才写出来的，这节的反证法和极限不存在的否定形式用的较多，这个是我这种半吊子学数学的人欠缺的，关于7,8,9这三道题，裴礼文上有专门的专题讲这一块，后续将写个专题，当然里面有一些是有问题的，希望大家指出（本节习题内容仍然来自崔尚斌数学分析） 点个赞，在看和关注呗！ |
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