【原】子空间

子空间

为了简单起见，我们不做说明时都说的是数域上的线性空间.

今天的文章有点赶，因为突然家里让我明天回去有急事，所以没有安排习题...另外24-27这四天在老家估计看不了书，停更几天！多多谅解

子空间

[子空间] 设是的一个子集，如果它满足以下两个条件：

1.对任何的都有;

2.对任何的都有：.

则称是的一个子空间.(由于是的一个子集，因此它必然满足线性空间的8条算律，我们添加的两个条件是使得这些运算的结果仍然落在中，可以这样说是继承了$V

[生成的子空间] 设是空间的一个向量组，定义：

为生成的子空间.(可以验证，它是包含该向量组最小的子空间.)

例1：设为数域上的阶方阵，那么线性方程组的解集就是的一个子空间，且维数为.

例2：,则是的子空间.

[扩基定理] 设是的非空子空间，则的一组基可以扩充为的一组基.(该定理十分显然，我们略去不证.)

子空间的和与交

[子空间的和] 设和是的非空子空间，定义：

称为和的和.(不难验证它是的子空间)

[子空间的交] 设和是的非空子空间，称为子空间的交.(它也是的子空间.)

例3 设分别为阶矩阵，则的解空间的交就是的解空间.

[维数定理]

设 是线性空间 的两个有限维子空间,则有

该定理的处理方法比较重要，我们选择在这里证明一遍.

证 既是 的子空间, 又是 的子空间. 我们在 内取定一组基

它可以扩充成 的一组基

也可以扩充成 的一组基

（当 时,取 即可 ). 我们证明向量组

是 的一组基.

（为什么突然变成了这个样子....)

(i) 对任一 , 有 而

故有

即 可被向量组1 线性表示.

(ii) 再证向量组 (I)线性无关. 若

移项,得 因为

而两者相等,故

于是 可被 线性表示,即

又已知

两式相减,得

由于 线性无关,故 代入 2式,得

再由 线性无关, 推得 .

推论 设是的子空间，那么：

子空间的直和

[子空间的直和] 设 是线性空间 的两个子空间, . 如 果对 内任一向量 , 其表示式

是惟一的,则称 是 与 的直和(亦称 是直和 )记作

[直和的等价定义]

1. 是直和;
2. 0 向量表法惟一,即由

必定有 ; 3.  ; 4. .

采用循环证明的方法：

定义.

假设,设,那么，所以：

零表示法不唯一，矛盾.

维数定理.

设某个元素的表示不唯一，那么就有：

因此所以维数定理不成立.命题得证.

我们可将该结果推向高维：

定义 设 为线性空间 的子空间, . 如果对 中任一向量 ,表达式

是惟一的,则称 是 的直和 亦称 是直和 ), 记作

[直和的等价定义]

1. 是直和;
2. 零向量的表法惟一,即若则 ;

采用循环证明的方法：

定义.

假设

那么存在：

所以

表示方法不唯一

归纳证明：时，我们已经证明，现假设时成立，现在考虑,那么此时有：

由于：对任一 有

于是,按归纳假设,有

从而

先证

(跳一个步骤，否则维数定理不成立.) 现设 , 证明 的表法惟一. 命

其中 对任一 ,有

于是

即 , 亦即 这说明 的表法是惟一的. 所以 是直和.

推论：设 是数域 上的 维线性空间, 是其 子空间, 且

则在每个子空间 内取一组基,合并后即成 的一组基.

取一组基之后直接验证线性无关即可.

[补空间] 设 是数域 上有限维线性空间 的一个子空间, 则必存在的子空间,使

称为的补空间.

取得一组基并扩充为整个空间的一组基，扩充的即生成的子空间就是补空间.

商空间

作为一名学了近世代数的人，我不知道怎么介绍本章，没有学过近世代数的人可以直接去看丘维生的高等代数或者蓝以中的高等代数，为什么要引入他呢？因为他在证明某些定理非常方便！之前都是从个体研究，这里是从整体研究.