【原】方程的近似解

方程的近似解

本节我们介绍方程的近似解-割线法和切线法求近似解.为了讨论方便本节中我们都做如下要求：

(1):在闭区间是连续的；

(2):(保证了在闭区间上有根.)

(3):在闭区间上保持不变，为了叙述方便，我们均只讨论的情况.

方法一：割线法

如图所示，这是一个都大于0的函数的图像.

第一次，我们选取为端点的弦与轴的交点近似看作函数的根记为；接下来我们以为端点的弦与轴的交点近似看作根记为,我们从图中可以直观看出这个根是越来越逼近了.现在我们要用严格的语言和逻辑符号来证明这样一件事.

首先我们要先把每一次的近似根表示出来：第一次是直线：

解出来了，接下来：

接出来,然后...

解出来：

我们记,现在来证明是一个单调递增的序列且极限就是.

令,我们可以计算出在开区间上,所以是单调递增的.

然后我们归纳证明单调递增且以为上界.

设这样便于我打字.

首先,所以归纳第一步得证.

又：

如果,那么自然

又因为:

所以,所以命题归纳完毕.因此单调递增有界，记极限为,那么：

又因为,所以只能是.所以,故命题得证.

「误差估计：」

利用中值定理：

所以：

又因为在闭区间上连续递增且不为0，因此有非的上下界，记得下确界为,所以：

第二种：切线法

这次我们以得切线与轴交点作为近似根记为，类似的我们再以得切线与轴交点作为近似根记为,和割线法类似我们可以用得切线与轴交点作为近似解.

于是：

所以：

我们也可以归纳证明是递减的，且以为下界(只需要重复割线法得方法即可.)一般得数分教材也应该会有.

「误差估计：」

所以：

所以：

记为得最大值，为的最小值，.

童年的电视剧，想起来了咦！