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蒙日，法国数学家、物理学家和化学家，画法几何的创始人。《画法几何》是在平面上绘制空间图形，并在平面图形上表达空间物体的大小、位置以及相互关系的一门学科。它在绘画、建筑、军事等方面有着广泛的应用。后人曾评价：“没有蒙日的几何，也许不可能有19世纪的大规模生产。”蒙日的几何避开了麻烦的计算，法国大革命前后，由于军事建筑上的需要，画法几何曾被列为军事机密，未能及时公诸于世。直到军事约束解除后，蒙日才公布了他的研究成果，而这已经是30年以后的事了。阿波罗尼斯圆、蒙日圆、费尔巴哈圆都是世界著名的圆，以此为载体的数学文化生机勃勃。阿波罗尼斯圆和蒙日圆，我曾多次提到，今日又遇上了，翻来覆去，是美好的回忆。以动点的坐标建立直线的方程，代入椭圆后，通过判别式为零得到一个关于斜率的一元二次方程，显然两切线的斜率均满足此方程，因此两切线的斜率即为该方程的两根。法1是解决“筷子夹汤圆”的常用解法，因其套路程式化，步骤易于掌握而十分流行。本题的难点是选项A，一旦确定了蒙日圆的方程，剩下的便易如反掌。而A中求轨迹方程的难点在于设元，究竟是设点，还是设线，抑或是由点设线，莫衷一是。以上的烦恼不过是作茧自缚，因为设点或设线都无关紧要，殊途同归。法2便是纯粹设线，这种求轨迹方程的技法叫做“交轨法”。坦率地说，交轨法是求轨迹方程中较难的一种，难就难在消参。这需要敏锐的洞察能力，强大的抗压能力，以及彪悍的运算能力。一旦瞄准目标，三下五除二，便可一击得手。即便交轨法是我所钟爱的方法，也没打算推荐给所有人。不感兴趣的完全可以跳过，丝毫不影响心情。法3，几何法。给出的目的在于说明这也是一种方式，但它却并不寻常。如此多的线条纵横交错，令人心醉神迷。这不是关键，关键在于其中用到了一个工具——矩形性质。这并非什么化外之物，我曾在介绍平面向量的时候多次提及。不用则罢，一用飞天。想必你也知道，解析几何也是几何，所以几何法一旦用上便可大显身手。同样，如果不感兴趣，法3也没必要费尽心机。会，未必与众不同；不会，也不至于自惭形秽。本题中所有的问题皆是轨迹的问题，有了选项A作铺垫，选项BCD势如破竹，一发而不可收拾。判断结论正确，严格推理；判断结论谬误，一个反例。选项B便是后者。求折线段长度的最值——化折为直，等号在点共线时取得。有心二次曲线（椭圆与双曲线）到一个焦点，则转化到另一个焦点；无心二次曲线（抛物线）到焦点，则转化到准线，反之亦然。蒙日圆的内接矩形，对角线即为直径，由此可利用均值不等式求得面积的最值。当矩形变为正方形，即矩形的顶点落在坐标轴上时，等号成立。这里的选项A完全可以单独命题，而选项BCD亦可基于圆而自成一题。将二者糅合在一起反而方枘圆凿，不免累赘。以蒙日圆为载体考查数学文化是本题的目的，但如果事先知晓结论（如常关注本人），那么本题唾手可得。当神秘的色彩消失殆尽，剩下干瘪的结论时，一切都变得兴味索然。另外，抛物线是没有蒙日圆的。当然，如果强迫症非要整统一，那么动点的轨迹可视为半径无穷大的圆。换言之，即是圆退化成一条直线——准线。蒙日圆有诸多优美的性质，时常出没于考试之中。它恍若带着面具的幽灵，来无影又去无踪，令人手足无措。精彩总在结束时，精彩总在下一次。下次我们继续。
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