中考数学压轴题分析：矩形手拉手

本文内容选自2021年日照中考数学几何压轴题。以矩形为背景，将直角三角形进行旋转，旋转过程中秋线段的比值与面积。难度不大，图形比较典型。

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【中考真题】

（2021·日照）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①　　；②直线AE与DF所夹锐角的度数为　 　．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为　    　．

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【分析】

（1）根据图1可以得到△ABD∽△EBF，那么在旋转过程中始终保持这个关系。可以得到对应边成比例且夹角相等，此时可以得到△DBF∽△ABE。那么求AE与DF的比值就可以转化为BE与BF的比值了。而AE与DF的夹角也可以进行转化，根据X字型可以得到等于∠ABD的度数。

（2）虽然旋转的方向不一样，但是结论依然成立。方法类似。

（3）由于点D、E、F三点共线，所以需要分类讨论，可能为E在中间，也有可能为F在中间。先画出图形，根据∠BEF为90°，可以得到△BEF的边长以及DB的长度根据勾股定理得到DC与DF的长。

①情况1，如下图：

②情况2，如下图：

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【答案】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，

∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，

∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵，
∴△ABE∽△DBF，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，

∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，
∴BE，AD＝2，DB＝4，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝1，
∵D、E、F三点共线，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE，
∵∠DEA＝30°，
∴DGDE，
由（2）可得：，
∴，
∴AE，
∴△ADE的面积AE×DG；
如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，

同理可求：△ADE的面积AE×DG；
故答案为：或．