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相似模型 模型3 . 一线三角型 已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D。 结论：△ABC∽△CDE。 分析：一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其它相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形。 例子：如图在等边△ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，且∠ADE=60°， BD=3，CE=2，则△ABC的边长为 ?。 证明： ∵∠B=∠ADE=∠C。 ∴△ABD∽△DCE(利用模型)。 ∴AB/CD=BD/CE=3/2, ∴BD/BC=1/3, ∴BC=9, 边长为9。 注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。 思考：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°。 （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式； 求证： 点F是BC的中点。 提示： （1） ∵∠B=∠ADE=∠C, ∴ △ABD∽△DCE(利用模型）。 （2）由（1）知， ∴ BD/EC=AB/CD, ∵ ∠BAC=90°，AB=AC=1， ∴BC=√2，CD=√2-x, CE=1-y。 ∴x/(1-y)=1/(√2-x). ∴y=x^2-√2x+1。 注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。 思考：如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上 的P点外，折痕与边BC交于O，连接AP、OP、OA。 （1）求证：△OCP∽△PDA； （2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长。 提示：利用模型，勾股定理。 注：考试中遇到模型，需要自己证明后再使用。 模型4. 倒数型（倒双A） 条件：AF∥DE∥BC， 结论：1/AF + 1/BC =1/DE。 分析：该模型中有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加得到的。 提示： DE/AF=BD/AB, DE/BC=AD/AB=1-BD/AB, DE/BC=1-DE/AF, DE/BC+DE/AF=1, 1/AF + 1/BC =1/DE。 思考：如图，AF∥BC，AC、BF相交于点E，过D作ED∥AF交AB于点D。 求证： 1/S△ABF +1/S△ABC =1/S△ABE。 提示： 作AG⊥BC于G，利用模型得到 1/AF + 1/BC=1/DE ，在两边同时乘1/AG. 再利用同底等高面积不变，易得面积关系。 思考：正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F，交AB于G，连接BF。求证： （1）AF+BF=EF； （2）1/AF + 1/BF =1/GF。
提示： (1)
延长FB至H，使BH=AF，联结EH。 ∠ABF=∠ADE, ∴∠BFE=60°， 证明△EAF≌△EBH。 (2)
作AQ∥BF交EF于Q，GK∥BF交AC于K。 利用角度、全等证明AQ=AF, GK=GF。 再使用模型可得到结论。 1 注：若思考题有疑问可以私信小修要答案！ |
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