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这是敝号的第365篇随笔。有读者反映缺少科学类书籍，所以赶紧加了这篇。其实本人也喜读物理学和数学方面的书，如果愿意的话，看敝号前50篇中应有几本物理方面的随笔。 一本数学通识科普小书。依据独特性、简洁性、深刻性、影响力等维度筛选出了历史上最为著名的24个数学公式，历数它们的诞生、基本原理以及产生的巨大作用。挺好玩的一本书。 从人类史上看，数学当然是脱胎于税收、测绘、天文等应用领域的一门理论学科。想想也是，要税收，所以需要计数和计算，所以还需要用到测绘来确定土地界限；天文则在很长一段时期内是左右东西方王国有关政治、战争等重大决策的学科。纯数学起码有三个起源地，其一当然是希腊，其二是印度，其三是中国。希腊数学的巅峰是欧几里得，印度数学则贡献了十进制，中国数学主要侧重于应用。希腊和印度数学后来为伊斯兰数学所兼容并包，最终又返回西欧，在西欧产生了现代数学。 数学是一种思维方式。一开始举了个竞赛的例子，美国物理学家费曼接受了一个算盘推销员的挑战，看谁算数算得快。在加减法上，费曼完败；在乘除法上，费曼也败，不过不是全败；转机出现在求立方根这样更加复杂的计算上，求1729.03的立方根（亏他们想得出这种题），费曼用了几秒钟得出了答案12.002，算盘推销员则用时超过了5分钟。费曼解释，很简单，他并没有计算，他只是基于对数字的敏感度，再就是物理学的训练——1立方英尺是12的三次方立方英寸，也就是1728立方英寸。所以，算盘并没有输在计算上，而是输在思维方式上。这可能也可以部分地解释，为什么包括英美、德法在内的拼音语言国家，相比中国，人们的算术能力普遍较低，但他们的数学和物理却高度发达。 第一个公式是：1+1=2。有一个有趣的现象，从上古时代开始，即从巴比伦和埃及时代的莎草纸和泥板上留下的数学记号来看，几乎都是乘除法，却见不到简单的加减法。作者推断，是因为古代都普遍用果实或者树棍替代数字，两个1合起来自然就是2，太过普遍，因而没有必要以正式的形式表达出来。再就是等式这个概念也是现代的概念，古代文化中基本都是用文字表达出来的，最早的等式出现在十六世纪中叶的西欧。而且，1+1=2在过去三千年间都没有引起过人们的注意，直到十九世纪，数学家们才开始认识到，我们的科学过分依赖一些未经证实的、隐藏的假设，才反过来仔细思考我们习以为常的那些概念和数学假设——反思和检查数学的基础究竟是什么。 结果却发现这是一件无比麻烦的事，弄了半天，如何解释1+1=2是个巨大的问题。目前为止，只有集合论能给出一个公认还凑合的解释：两个不相交的，只有一个元素的集合，并起来是一个有两个元素的集合。结果后来集合论自己也碰到了麻烦——哥德尔提出了不可能性定理——永远不可能证明任何足以推导算术规则的集合论规则能够逻辑自洽，也就是没有任何一个逻辑体系是能够完全自己证明自己的。 可是那又怎样呢？数学，尤其是算术，从严格的逻辑上讲，有缺陷。但它作为人类理智的产物，相比其他诸如语言、音乐、绘画等，具有更加简单便捷和在最大范围内的统一性的特点，这是人类凡3000年以来的共识。这就够了。 第二个公式是：1-1=0。这其实是指零这个概念。实际上，零这个概念是在算术的位值概念出现之后，产生的东西——表示那个位值上是空位，如209，2009这类的数值。不过，如果换做罗马数字，零就没有必要出现了。零所表达的“空”和“无”这个概念，表达为一种存在，还真的起源于印度教。大概是在公元600年左右，印度教学者婆罗摩及多，用两个绝对值相等的正负数之和来表达的零的概念。在现代数学中，零是单位元素，因为加减它都不会改变，它可以让一个数字变出多种形式——5，可以表示为5+0，可以表示为5+1-1，在不同的场景中，可以产生诸多的运算变化。就像语言中的同义词一般，构造出细微而精深的差异。 第三个公式是勾股定理，当然经典。本书没有提到的是，没想到这个历史悠久而简明扼要的定理，是理解狭义相对论因子的关键，也就是说，看起来很高深的相对论，可以用勾股定理推导出来，即不同运动状态下的物体所经历时间的不一致性——记得两年前一个上班的早晨，路上突然想起这么一出，于是就拿出纸笔开始推导，居然推出来了，刚找了半天也没找着当时推导过程的照片。哎。 第四个公式是π。这也是经典，值得一提的就是阿基米德和刘徽的计算模式，阿基米德是公元前200年的希腊人，刘徽则是公元220年的中国晋代人，相隔了四百年，也不可能有过交流，却有完全一样的方法计算π，内接正多边形和外切正多边形。阿基米德给出了一个区间，而刘徽则直接得出了截至当时最精确的数值——3.1416。有趣的是，刘徽算到这一步，完全是出于爱好和好奇心。此后一直到十六世纪，西欧才在级数等新发明的数学工具帮助下，得出了一系列优美之极的π公式，如莱布尼茨、欧拉等。 第五个公式是无穷数等式：1+1/2+1/4+1/8+……=2。正是级数的发现，生出了无穷这一概念，而级数本身则是来源于几何学，如割圆术，切割抛物线。级数的意义在于它是一个效用极大的数学工具。 第六个公式是杠杆原理：d1w1=d2w2。杠杆两端平衡时，两边的重物满足这个等式，d是该边重物与杠杆支点的距离。这就是阿基米德那句——给我一个支点，我可以撬动地球的来源。 第六个公式有点陌生，叫卡尔达诺公式，是这样的： 它的作用是简化了对三次方程的求解——x3+px=q。 还记得二次方程的求根公式吗，我记得当年中学学习的时候，仅靠的记忆。实际上那个求根公式来源于几何学的方法，这个方法早在欧几里得时代就已经有了。 但到了三次方程求根公式，就过去了三千多年也没有解。这个三次方程求解的方法，其实是十六世纪三十年代的意大利学者菲尔罗和塔尔达利亚先后发现的。卡尔达诺干了啥呢，他是个医生，爱好数学，然后编辑数学手册，从塔尔达利亚口里得知了这个方法。卡尔达诺和他的助手费拉里运用同样的思路，居然仅用4年就解决了四次方程的求根公式问题。于是卡尔达诺将两个方法同时公布。 这个公式的重要意义在于，它提出了虚数和复数的概念和必要性。如果没有虚数这个工具，现代数学和现代物理学都无法想象——量子力学的波函数中，虚数就代表光的位相，即所谓波粒二象性，就通过虚数表达。 第七个公式是开普勒的行星运动三定律。这在敝号随笔中多次分析过了。如果不是开普勒有交流障碍，还带有强迫症倾向，他就不会纠结于几分的偏差，也就不会发现行星运动轨道为椭圆这个规律；同样，也正因为他不善交际，也过分纠结，在他得出第三定律之后，就再也没有进一步去拓展为平方反比的万有引力定律。 第八个公式是著名的费马大定理：Xn+Yn=Zn，其中X，Y，n都是正整数。费马大定理其实不是一个定理，而是一个数学猜想——当n＞2时，方程无解，也就是不存在XYZ这么三个正整数满足这个等式。 毫无疑问，当n=2的时候，就是勾股定理的三个数，有不少。费马则想到n=3时，有没有解？他在读丢潘图这本希腊数学著作时，在书的空边上写道：这个方程是不可能成立的，我已经找到了一个绝妙的证明方法，但空白处太小了，没法写下来。 这句话成了数学史上最著名的批语之一。因为此后三百年，这个问题难倒了几乎所有数学家。直到上世纪80年代，德国数学家弗莱发现所有已知的结果，都能构成一条怪异的曲线，这个曲线还能用一个公式表达出来。他发现，这个结果还与谷山-志村猜想相悖，这个猜想为真，则费马猜想为假。 接着弗莱的发现，英国数学家安德鲁·怀尔斯，在阁楼里算了七年——跟陈景润差不多，把20世纪最艰难的三大数学理论L函数、模形式和伽罗瓦表示，结合到了一起，在1993年证明了费马大定理为真。安德鲁的方式，被称之为登月计划。——登月计划至少是三项相互独立的技术的组合——火箭技术，计算机技术和通信技术。这三项技术中没有任何一个在产生和发展时考虑到过登月计划。单独从任何一个视角来看，登月都是不可能实现的。但这三项独立技术机缘巧合地结合到了一起，把一件不可能的事，不可能解决的难题，变成了可能。 第九个公式是微积分：
数学史上能跟哥伦布发现新大陆相比的发现，可能就是微积分了。微积分开辟了考察连续变量的方法，积分、微分、级数这些技术开辟了数学分析这种领域。牛顿和莱布尼茨独立发明了这种方法，不过牛顿个性比较特殊，他先发明，却始终藏着不露，从来不公开也不做过多说明。反倒是莱布尼茨第一次向世界公布了有微积分这种好玩的东西，而且，莱布尼茨的表述方法更加简单明了。所以，现在大家也就不再使用牛顿的“流数”和“流动”了。 第十个公式是第二运动定律和万有引力公式。这个也无须多说。 第十一个公式是欧拉定理：eix=cos(x)+isin(x)。 欧拉是个神奇的人，当年《数学信使》组织了一次推选最优美数学定理投票，入选的前五个定理居然有四个都是欧拉证明的。欧拉的创造力完全可以用火山喷发来形容，圣彼得堡科学院跟不上他著书立说的速度，以至于他去世之后半个世纪之间，他的论文还在陆续被发表。他不仅是数论这种纯数学研究的奠基者之一，同时还把数学推广应用到各个领域，从微积分到海军到天体，无所不包。 把其中的X用π替代，就可以得到更有名的欧拉公式：eiπ=-1或eiπ+1=0。这个公式更有名，在于就这么一个简单的公式包含了历史上最重要的五个数：0,1，π，e（自然对数）和i（虚数）。不过欧拉自己喜欢的是前一个，因为毕竟这后面的公式可以从前一个导出来。 再一个拓扑学的优美公式就是V-E+F=2，欧拉证明任何多面体的顶点数V，棱数E和面数F之间的关系如此。如立方体8个顶点，12条棱，6个面，合起来就是2。后来，大家发现，甜甜圈状的多面体相关的关系是0，麻花状多面体的关系为-4。好玩吧。 欧拉就是这么一个有趣的人，他发明创造了一大堆数论公式，并且全部拿出来分享传播，还致力于实际应用。记得前两年很火的弦理论，其起源就是理论物理学家们对欧拉等式的应用。 第十二个公式是汉密尔顿爵士的四元数公式：i2=j2=k2=ijk=-1。 这里面的i,j,k都代表虚数，多个单位虚数可以与实数加组为四元数——a+bi+cj+dk。然后可以用公式所表达的法则唯一地定义两个四元数的乘积，进而也就可以定义两个四元数的商。 这个公式的可怕在于，它创造了一种新的数，新的数学法则。在十九世纪上半叶以前，人类一直只有一种代数和一种几何，即便是牛顿的惊天成就，也没有脱离传统代数和欧几里得几何的框架。四元数从代数方面，非欧几何从几何角度，开始了一种全新数学架构的构造。 汉密尔顿是个神童，十岁就已经通晓欧洲各国语言，钟情文学，与威廉·沃兹华斯是密友，后者劝他还是致力于科学，成就会更大。于是他22岁大学还没毕业就成了爱尔兰皇家天文学家——因为他先是用诗，后来用数学证明了圆锥折射定理——只要入射角合适，光线经过折射会变成一个中空的光锥。——物理现象被数学推导预测出来，这是十九世纪初期的第一批次。 大概是在十九世纪二十年代，汉密尔顿开始寻找三数组的乘除法。人们都已经知道，数字可以对复数进行乘除，如复数（a+bi）与（c+di）可以按照代数法则和复数法则进行乘除。——这就是所谓三数组。这种玩意到底是什么意思？汉密尔顿指出，代数运算乘以虚数i，意味着几何运算上的“逆时针转动90°”，所以，某个数乘以复数（a+bi）意味着一次转动和一次放大，先乘a放大，再乘bi转动。——你就明白这玩的价值了。 这只是在二维平面上的操作，汉密尔顿想到，三数组可以描述二维平面，那么是否可以进一步描述三维空间？这一苦思就是十年。 十年后，1842年某天他路过布鲁姆桥的时候，灵感终于出现了——三数组不够的话，就再加一个数进去，变成四数组。他把四数组的规则定义为：i2=j2=k2=ijk=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j。看到没有，其实就可以理解为顺时针或逆时针的转动关系。 这套规则拿出来之后，他的同事们反复测算验证，发现一切都没毛病，但就是无法理解到底是什么意思。而且，汉密尔顿自己也很惊诧——如果这样也可以的话，我真不知道我们创造数字的自由度能有多大。 如果四数组描述三维空间，那么第四个数到底是干嘛用的？汉密尔顿自己认为，第四个数当然是描述第四维时间的。——由此他又无意中成为第一个把空间与时间合二为一的科学家——我个人认为跟他的诗人想象力有关。 汉密尔顿还没有停止，他构造出了八数组，十九世纪末期又有了十六数组。他发现，从二维到四维，乘法交换律失效了，从四维到八维，乘法结合律也失效了，从八维到十六维，除法也失效了。 关键问题是，这一切都意味着什么呢？ 其后四元数遇到了后起之秀海威塞的挑战，他发明了矢量概念，即用三数组来描述空间的点，矢量乘法就是我们在高数中学过的点积和叉积。矢量比较好地适用于工程学，应用较广。所以逐渐替代了四元数组。 直到二十世纪初，人们才逐渐理解，其实两者有很大的差别，简单来说，矢量方法就是转动一个操作平台，就像我们把手表放在转表盒里转来转去看手表一样；而四元数则是代表的空间位置和转动本身。这个概念，一直到近一百年后，人们研究到质子、中子和电子的自旋运动时，才得以理解四元数的强悍。 1843年10月16日汉密尔顿爵士在经过都柏林皇家运河上的布鲁姆桥时，灵感突发想到了第四个数，后来就把这个四元数基本定理刻在了桥西段的石头上，造就了历史上最著名的数学涂鸦。 |
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