【几何辅助线】构造等腰三角形的常见方法

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等腰三角形是研究几何图形的基础,因此在许多几何问题中,常常需要构造等腰三角形解决问题.如何构造等腰三角形呢?一般来说有以下几种途径.

类型一　利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形

1.在角平分线上取任意一点作角的一边的平行线与另一边相交,得到等腰三角形.如图1①,AD平分∠BAC,DE∥AC,则△ADE是等腰三角形;如图1②,AD平分∠BAC,CE∥AB,则△ACE是等腰三角形.

2.在角的一边上取任意一点作角平分线的平行线与另一边所在的直线相交,得到等腰三角形.如图1③,若AD平分∠BAC,AD∥EC,则△ACE是等腰三角形;如图1④,AD平分∠BAC,EF∥AD,则△AGE是等腰三角形.

图1

例题1.如图2,在△ABC中,AO,CO分别平分∠BAC,∠BCA,过点O作DE∥AC,分别交AB,BC于点D,E.线段AD,CE,DE间有怎样的数量关系?请说明理由.

图2

解:AD+CE=DE.理由如下:

∵AO,CO分别平分∠BAC,∠BCA,

∴∠CAO=∠OAD,∠ACO=∠ECO.

∵DE∥AC,

∴∠CAO=∠DOA,∠ACO=∠EOC,

∴∠DOA=∠OAD,∠ECO=∠EOC,

∴DO=AD,CE=OE,

∴AD+CE=DO+OE=DE.

例题2.如图3,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是BC的中点,EF∥AD,交AB于点M,交CA的延长线于点F.求证:BM=CF.

图3

证明:延长ME到点N,使NE=ME,连接CN.

∵E为BC的中点,∴BE=CE.

在△BME和△CNE中,

∵ME=NE,∠MEB=∠NEC,BE=CE,

∴△BME≌△CNE,

∴BM=CN,∠BME=∠CNE.

∵EF∥AD,

∴∠BME=∠BAD,∠CAD=∠F.

∵AD平分∠BAC,

∴∠BAD=∠CAD,∴∠BME=∠F,

∴∠CNE=∠F,

∴CN=CF,∴BM=CF.

类型二　利用“角平分线+垂线”构造等腰三角形

  在一个三角形中出现角平分线和垂线时,我们就可以找到等腰三角形.如图4,若AD平分∠BAC,AD⊥DC,则△AEC是等腰三角形.

图4

例题3.如图5,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BF交BF的延长线于点D.

求证:BF=2CD.

图5

证明:延长BA,CD交于点E.

∵BF平分∠ABC,

∴∠ABF=∠DBC.

∵CD⊥BD,∴∠BDE=∠BDC=90°.

又∵BD=BD,∴△BED≌△BCD,

∴BE=BC,ED=CD,∴CE=2CD.

由∠BAC=90°,可得∠EAC=∠BAC=90°,

∴∠ABD与∠AFB互余.

由CD⊥BD,可得∠DFC与∠ACE互余.

又∵∠AFB=∠DFC,∴∠ABD=∠ACE.

又∵AB=AC,∴△ABF≌△ACE,

∴BF=CE,∴BF=2CD.

类型三　利用转化倍角构造等腰三角形

  在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时,我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图6①,若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC,则△DBC是等腰三角形;如图6②,若∠ABC=2∠C,如果延长CB到点D,使BD=BA,连接AD,则△ADC是等腰三角形;如图6③,若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点,CA为角的一边,在△ABC外作∠ACD=∠ACB,交BA的延长线于点D,则△DBC是等腰三角形.

图6

例题4.如图7所示,在△ABC中,∠ACB=2∠B,BC=2AC.求证:∠A=90°.

图7

证明:如图,

作CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE⊥BC于点E,则∠ACD=∠BCD.

∵∠ACB=2∠B,

∴∠B=∠BCD,

∴BD=CD,

即△DBC是等腰三角形.

又∵DE⊥BC,∴BC=2EC.

∵BC=2AC,∴AC=EC.

又∵∠ACD=∠BCD,DC=DC,

∴△ACD≌△ECD,

∴∠A=∠DEC=90°.

类型四　利用垂直平分线构造等腰三角形

当一个三角形中出现高时,可以在垂足所在的三角形的边(或其延长线)上取一点,使高所在直线是该点与该边上三角形的一顶点组成的线段的垂直平分线,从而构造等腰三角形.如图8①,AD是△ABC的高.(1)如图8②,在边BC上取一点E,使ED=CD,连接AE,则△AEC是等腰三角形;(2)如图8③,在边BC的延长线上取一点E,使ED=BD,连接AE,则△ABE是等腰三角形.

图8

例题5.如图9,在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠B=2∠C.求证:AB+BD=CD.

图9

[解析] 由待证结论AB+BD=CD并结合已知条件“AD⊥BC”,可构造以AB为腰、AD为底边上的高的等腰三角形.

证明:如图,在DC上取一点E,使DE=BD,连接AE,则AB=AE,∴∠B=∠AED.

∵∠AED=∠C+∠CAE,且∠B=2∠C,

∴∠C+∠CAE=2∠C,∴∠CAE=∠C,

∴AE=CE,∴AB=CE,

∴AB+BD=CE+DE=CD.

类型五　利用平行线构造等腰三角形

  过等腰三角形一腰上的点作底边或另一腰的平行线,都可以得到等腰三角形.如图10,在△ABC中,AB=AC.过边AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,则△ADE和△BDF都是等腰三角形.

图10

例题6.如图11,在△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,且BD=CE,DE交BC于点F.求证:DF=EF.

图11

[解析] 由待证结论知F是线段DE的中点,再结合已知条件AB=AC,可过点D作DM∥AC构造等腰三角形.

证明:如图,过点D作DM∥AC交BC于点M,则∠BMD=∠ACB,∠FDM=∠E.

∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BMD,

∴BD=MD.

又∵BD=CE,∴MD=CE.

在△DMF和△ECF中,

∵∠DFM=∠EFC,∠FDM=∠E,MD=CE,

∴△DMF≌△ECF,∴DF=EF.