【原】人教版数学九年级上册第二十三章测试卷 (2)

人教版数学九年级上册第二十三章达标测试卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列A，B，C，D四幅图案中，能通过将图案(1)顺时针旋转180°得到的是(　　)

2．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)

3．正六边形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为(　　)

A．30°  B．60°  C．120°  D．180°

4．如图，△OAB绕点O逆时针旋转75°到△OCD的位置，已知∠AOB＝40°，则∠AOD等于(　　)

A．55°  B．45°  C．40°  D．35°

5．如图，△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置，下列说法中不正确的是(　　)

A．线段AB与线段CD互相垂直       B．线段AC与线段CE互相垂直

C．点A与点E是两个三角形的对应点  D．线段BC与线段DE互相垂直

6．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是(　　)

A．①  B．②  C．③  D．④

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为(　　)

A. 

B．2 

C．3 

D．2

8．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE.若点C的坐标为(0，1)，AC＝2，则这种变换可以是(　　)

A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度 

B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度

C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度 

D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度

　　　　　　

9．如图，直线y＝x＋与y轴交于点P，将它绕着点P旋转90°所得的直线对应的函数解析式为(　　)

A．y＝x＋  B．y＝－x＋  C．y＝x＋  D．y＝－x＋

10．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点，现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后，点P的对应点的坐标是(　　)

A．(，1)  B．(1，－)  C．(2，－2)  D．(2，－2)

二、填空题(每题3分，共30分)

11．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：__________________．

12．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD.若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是________．

13．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－n)与点Q(－2，3)关于原点对称，则点M(m，n)在第________象限．

14．如图，将△OAB绕着点O逆时针连续旋转两次得到△OA″B″，每次旋转的角度都是50°.若∠B″OA＝120°，则∠AOB＝________．

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4 cm.若以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°后，点B落在B′处，则BB′＝________cm.

16．已知点P(3，1－b)关于原点的对称点Q的坐标是(a，－1)，则ab的值是________．

17．如图，已知抛物线C₁，抛物线C₂关于原点中心对称．如果抛物线C₁的解析式为y＝(x＋2)²－1，那么抛物线C₂的解析式为____________________．

18．如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是____________．

19．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′的位置，则图中阴影部分的面积为________．

                         　　　　　

20．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB₁C₁的位置，点B，O分别落在点B₁，C₁处，点B₁在x轴上，再将△AB₁C₁绕着B₁顺时针旋转到△A₁B₁C₂的位置，点C₂在x轴上，将△A₁B₁C₂绕点C₂顺时针旋转到△A₂B₂C₂的位置，点A₂在x轴上，依次进行下去……若点A，B(0，2)，则点B_{2 022}的坐标为________．

三、解答题(21，22题每题8分，23，24题每题10分，25，26题每题12分，共60分)

21．如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．

(1)指出它的旋转中心；

(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；

(3)分别写出点A，B，C的对应点．

22．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.

(1)试在图中作出△ABC以点A为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后得到的△AB₁C₁；

(2)若点B的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并写出A，C两点的坐标；

(3)根据(2)中的直角坐标系作出与△ABC关于原点对称的△A₂B₂C₂，并写出B₂，C₂两点的坐标．

23．如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.

(1)求点P与点P′之间的距离；

(2)求∠APB的度数．

24．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转角α到△A₁BC₁的位置，AB与A₁C₁相交于点D，AC与A₁C₁，BC₁分别交于点E，F.

(1)求证：△BCF≌△BA₁D；

(2)当∠C＝α时，判定四边形A₁BCE的形状并说明理由．

                                     

25．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.

(1)如图①，直接写出∠ABD的大小；(用含α的式子表示)

(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；

(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．

26．已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P不与点A重合)，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E.

(1)如图①，猜想∠QEP＝________°；

(2)如图②和图③，若当∠DAC是锐角或钝角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并选取一种情况加以证明；

(3)如图③，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．

答案

一、1．B　2．A　3．B　4．D　5．C　6．B　

7．A　8．A　9．B　10．B　

二、11．平行四边形(答案不唯一)

12．60°

13．一　14.20°　15.4　

16．1　17．y＝－(x－2)²＋1

18．(5，2)或(－1，－2)

19．1－　20．(6 066，2)

三、21．解：(1)它的旋转中心为点A.

(2)它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度．(答案不唯一)

(3)点A，B，C的对应点分别为点A，E，F.

22．解：(1)△AB₁C₁如图所示．

(2)直角坐标系如图所示，点A的坐标为(0，1)，点C的坐标为(－3，1)．

(3)△A₂B₂C₂如图所示，点B₂的坐标为(3，－5)，点C₂的坐标为(3，－1)．

23．解：(1)连接PP′.由旋转的性质知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC，

∴∠P′AP＝∠BAC＝60°.

∴△P′AP是等边三角形．

∴PP′＝PA＝6.

(2)∵P′B＝PC＝10，PB＝8，PP′＝6，

∴P′B²＝P′P²＋PB².

∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB＝90°.

由(1)知△P′AP是等边三角形，

∴∠APP′＝60°.

∴∠APB＝∠P′PB＋∠P′PA＝90°＋60°＝150°.

24．(1)证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转角α到△A₁BC₁的位置，∴A₁B＝AB＝BC，∠A₁＝∠A＝∠C，

∠A₁BD＝∠CBF.

在△BCF与△BA₁D中，

∴△BCF≌△BA₁D.

(2)解：四边形A₁BCE是菱形．理由：由题意知，∠A₁BD＝α.∵∠A₁＝∠A，∠ADE＝∠A₁DB，∴∠AED＝∠A₁BD＝α.∴∠DEC＝180°－α.∵∠C＝α，∴∠A₁＝α.∴∠A₁BC＝360°－∠A₁－∠C－∠A₁EC＝180°－α.∴∠A₁BC＝∠A₁EC.又∵∠A₁＝∠C，∴四边形A₁BCE是平行四边形．又∵A₁B＝BC，∴四边形A₁BCE是菱形．

25．解：(1)∠ABD＝30°－α.

(2)△ABE为等边三角形．证明如下：连接AD，CD，

∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴BC＝BD，∠DBC＝60°，∴△BCD为等边三角形．∴BD＝CD.又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α.

∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠EBC＝∠ABD＝30°－α.又∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°－－150°＝α.∴∠BAD＝∠BEC.又BC＝BD，

∴△EBC≌△ABD(AAS)．∴AB＝BE.

又∵∠ABE＝60°，∴△ABE为等边三角形．

(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝45°，∴△DCE为等腰直角三角形，∴CE＝DC＝BC.∴∠EBC＝∠BEC.∵

∠BCE＝150°，∴∠EBC＝＝15°. ∴30°－α＝15°.∴α＝30°.

26．解：(1)60

点拨：如图①，连接PQ.设QE与PC交于点M.

∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴PC＝CQ，∠PCQ＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，BC＝AC，

∴∠PCQ＝∠ACB，

∴∠PCQ－∠PCB＝∠ACB－∠PCB，即∠BCQ＝∠ACP.

在△CQB和△CPA中，

∴△CQB≌△CPA，

∴∠CQB＝∠CPA.

又∵在△PEM和△CQM中，

∠EMP＝∠CMQ，

∴∠QEP＝∠QCP＝60°.

(2)∠QEP＝60°.

以∠DAC是锐角为例进行证明．

证明如下：如图②，易知CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°，

∴∠ACB＋∠BCP＝∠BCP＋∠PCQ，

即∠ACP＝∠BCQ.

在△CQB和△CPA中，

∴△CQB≌△CPA，∴∠Q＝∠CPA.

∵∠1＝∠2，

∴∠QEP＝∠QCP＝60°.

(3)如图③，过点C作CH⊥AD交射线AD的反向延长线于点H，

易证△CQB≌△CPA，

∴BQ＝AP.

∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，

∴∠APC＝30°，∠CAH＝45°，

∴△ACH为等腰直角三角形，

∴AH＝CH＝AC＝×4＝2.

∵∠CPH＝30°，∴CP＝2CH＝4.

由勾股定理可得，PH＝＝＝2，

∴PA＝PH－AH＝2－2，

∴BQ＝2－2.