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一  数学画教学里很早就关注和研究“纸上画图”与“脑中画图”问题啦！当然我个人研究的多，成员投入相对较少，这不能说他们不去做，而是没有这样的敏感和意识。心心念念这种状态，有门槛，不是每个人都能拥有的。就如，正直忠贞的品质是有门槛的。 儿童很早就有假装学习的动机与能力，这给教学带来很多障碍，很多时候，我们看到的并非真相，我们以为的也并非我们以为的。 二 1.整体-部分关系中，儿童对部分-部分-整体概念有两个同步发展的子路径：非数值的与数值的，两者并行，并不互为条件。 2.儿童学而知，集合可以按照不同顺序组合，能知觉认知交换律和结合律。 3.美国“数学教育有识之士”认为，过于频繁呈现数目小的加数而非大数目的算术问题，是无效策略。 4.同样，他们认为有效策略有： （1）概念性感数：最早的学校加法教育； （2）交换律和结合律； 关于交换律，学生要理解无论加数的顺序怎样，和都是一样的；而不是从和相等来判断规律。即，交换律的理解或证明不仅仅在于结果相等，更在于加数位置不影响结果。 数的组成的呈现形式需多样。  （3）“双倍”及“n+1”规则（结合律）； （4）5和10模式： （5）拆分后凑十的策略（凑十法）；  （6）组合策略。 三  逻辑上： 科学是事实，但事实不一定是科学。 两者不等价。 张三是老师，但老师不一定是张三。 主题上： 科学是事实构成的，科学不是梦幻构成的，所以刘慈欣的《三体》里存在很多科学bug，但这不影响《三体》是伟大的科幻巨制。科幻不是科学。 科学由事实构成，但事实需要符合一定的条件才能成为科学。不是无条件的。 四 1.儿童对数的理解：十几是1个10和另外一些数；超过19的数是一些10和另外一些数… 2.美国教育者已经认识到语言上东亚国家比西方国家在数的认识与计算方面具有优势。但他们似乎没有注意到，在中国经常运用的一些好学具，比如小棒，比如计数器（算盘有关），个人非常纳闷，在位值教学中怎么始终不提计数器或小棒呢？下图这种“密码卡”能比小棒和计数器更适用？！  然后，读者朋友有没有注意到，西方国家的数学学具玲琅满目，复杂纷繁，貌似比我们好很多，其实我们忽略了一个重要因素，那就是简便性科学性。这里不多谈。 3.这一段对竖式的观点，个人不敢苟同。  五  正如前面提到的，美国儿童受语言影响，对位值概念的认识往往没有中国儿童好，个人以为这种劣势还与使用的学具有关。 所以，本书的读者一定要格外注意一个事实，那就是本书是基于美国儿童的实际在立论和论证，千万不能照搬照抄到我们的教学思考中！两者不一样。  其实，这么多文字说来说去，症结不在于“标准算法”不好，而在于这些儿童没有理解标准算法，更谈不上举一反三灵活运用。 不能把“标准算法”和“儿童自己的算法”放到对立面上去！理解万岁，儿童没有理解，什么都有问题。 对，需要大力鼓励和实施儿童自己探索算法，这也必然意味着儿童也会“再创造”出“标准算法”！ 而且，更重要的，“标准算法”的提法本身是有问题的，根本没有绝对的标准算法，我们的提法是“算法优化”，个人以为比这个好。基于算理理解的算法优化。 本书的立论有点偏颇，如果有人信了这些，在中国计算教学中是拖后腿的，离“专业”的距离有点远。 然后，早听说西方人计算差，信了。这样说，本人并没有半点沾沾自喜，而是更加警醒：为什么他们计算那么差还能如此先进发达？ 六   啊，对于“画计算”的老师来说，是不是非常亲切？但我们做得更到位，满十进一是一定要画出来的！像下图这样：  七 注意上面三个问题的条形图，与我们惯用的画法（用法）不同。我们习惯上将部分与整体的关系用单个条形表示，比如上面前两个问题；而两个量之间关系才用这样两个条形来表示。个人以为我们的做法更好。 到此为止 有关“数”的教学路径分析告一段落。有一说一，个人以为中国在数的认识、计算等方面的教学积累了很好的经验，很多方面占据优势，可惜我们理论构建不足。下一章将进入“形”方面的学习路径分析！期待！我们都知道，我们的数学经典叫《九章算术》，还有什么什么算经之类，而西方叫《几何原本》，所以我们有理由期待！ |
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