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＊ 内容提要： ＊汤圆铺子的古典概率 ＊咖啡厅的几何概率 ＊胡饼中的贝特朗奇论 * 选歌台和丝巾小摊的公理化概率 ❝ 在上期的数学漫谈中，小简带领大家一起遨游了素数小镇数学漫谈-素数之恋，并参观了镇上的一座山峰——黎曼猜想数学漫谈-黎曼猜想。 不过素数小镇虽然风景奇绝，但毕竟还是冷清了点儿。今天就让我们一起继续云游有着浓浓烟火气儿的「概率小镇」，瞅瞅有何奇妙的事儿发生。 壹 汤圆铺子的古典概率虽然在不同岗位的小伙伴们已经开工啦，年味儿却没消散，是呀，「元宵节的美味元宵指日可待啦」。 这不，前面就有着叫卖声。 原来是一家汤圆铺子，掌勺的是小虎哥。铺子门口熙熙攘攘，“给我一碗”，“我也来一碗”，“我再来一碗”。 ❝ 只见一个个被搓地圆滚滚白嫩嫩的大圆子跃入水中，翻滚沉浮，如同相互追逐的小精灵们，不一会儿就煮熟了，捞出来一瞧，哎呦，晶莹透明，略带色彩，红黄褐紫黑，仿佛里面的馅也迫不及待地要钻出来玩儿似的。  小简钟情于经典的黑芝麻味儿，迫不及待地舀起一个略带黑褐色的圆子就往嘴里送，烫呼呼的汤圆在口中蹿来跳去，嫩滑柔软，一口咬下去，噗哧，「果真是芝麻馅的」，香甜立刻流入口中，不由喝一句：真赞！ 连吐出来的气息也仿佛带了一丝芝麻的清香。 「假如」：一锅一共有 只汤圆， 只醇香黑芝麻的、 只巧克力巴达木的， 只香甜花生的、 只绵软豆沙的， 只香芋紫薯的， 只蛋黄流沙的，因为黑芝麻和巧克力的汤圆「隐约透出来的都是黑褐色」，那么即使瞄着黑褐色去舀圆子，也不一定那么准就碰到黑芝麻馅的。 ❝ 根据经验，大家很容易做出判断，如果我不管颜色，随机舀，吃到黑芝麻馅汤圆的可能性是 ，如果我特意挑黑褐色的圆子，吃到黑芝麻馅汤圆的可能性就是 。 此处的可能性指的就是「概率，而且是法国数学家拉普拉斯 (Laplace) 在 1812 年提出来的古典概率的定义」。 ❝ 现在，按照古典概率的定义，同样可以计算出相应的概率。 事件记为“「从碗中舀出 1 只黑芝麻馅的汤圆」”, 由于碗中有 只黑芝麻馅的，所以 中包含的基本事件个数为 。 如果总事件为“「从碗中舀出 1 只汤圆」”，由于碗中总共的汤圆是 只，所包含的基本事件个数为 。因此 。 类似地，如果总事件为“「从碗中舀出 1 只黑褐色的汤圆」”，由于碗中总共的黑褐色的汤圆是 5 只，所包含的基本事件个数为 。因此 。 「注意哦，这里总事件不同，所得概率就不同。」 可以清晰地看出，「古典概率只适合于古典概型」，也就是需要满足以下条件： ❝ 这里的 ，，， 就是总事件拆解出来的等概率的基本事件。 比如，《赌神》中常用的骰子，如果这是一个质地均匀的骰子，每个点数出现的概率就是相同的，为 。  无论是质检抽查还是博彩中，总是少不了古典概率的身影，因为它的特点就是容易理解、易于计算呀。 可是，古典概率也存在「严重的弊端」，如果「无法拆为基本事件或者基本事件出现的机会不相等」？又该怎么办呢？ 贰 咖啡厅的几何概率❝  吃完汤圆的我，心满意足地继续溜达，咦，前面有家咖啡厅，不妨进去逛逛，来杯卡布奇诺。没想到，还未进门，就听到吵闹声，原来有对儿小情侣吵架了，大过年的，啥事儿呢。 小简竖起耳朵一听，原来啊都是「等待惹的祸！」 男孩和女孩刚从老家回来，为解相思之苦，两人相约「9 点到 10 点」在镇上的咖啡厅见面。可是因为两人赶过来路途遥远，为了不浪费另一个人的时间，「男孩女孩约定先到者等候另一人半小时」，超过时间即可离去。  可是女孩怕在屋内看不到心上人，一直在门口站着。甚至已经超过了半小时，因心软，又等了足足一刻钟，可算是盼来了。 即使男孩连声道歉，也抚慰不了女孩内心的委屈，女孩觉得，约定等待半小时已经有很大的可能性成功会面了，是不是如此呢？ ❝ 显然，「时间是无法拆分的」，我们没办法按照古典概率的方法找到基本事件，但是我们可以画图探寻。 假设 与 表示两人到达的时刻，那么若要成功会面，需要满足满足不等式()的阴影区域如下图所示：  在这里我们感兴趣的结果无法一一列举出来，但是和面积有关，「假设每个点处的概率密度是相同的，可以通过几何图形的面积得到相遇的概率」： 这个概率的确不小，怪不得女孩委屈了。 ❝ 仔细看来，在古典概率中，组成事件的基本元素是基本事件，而且认为这些基本事件具有相同的概率。但是这需要可能的结果可以列出来，如果推广到具有无限多结果而且具有某种等可能的场景呢？ 这就如同一群散散落落的整数来到连续的实数世界中，那么「离散场景下的古典概率就变身为连续场景的几何概率」啦。 可是无论古典概率，还是推广之后的几何概率，因为对情况的无知，「我们习惯性的假设等可能性」。 至于为什么当人类一无所知之时，常用等可能的假设，可以通过「信息熵解释」，以熵的角度看待世界，就会发现等可能这个假设可以使我们获得最多的信息。 这与一个经典的问题“「到底是人类发明了数学还是发现了数学」”有些类似。 ❝ 叁 胡饼中的贝特朗奇论胡饼的尺寸走出咖啡厅，一阵阵「葱香芝麻饼」的味儿钻入鼻中，寻味而行，又看到一个胡饼小摊， 麻雀虽小五脏俱全，从面粉，葱花小料，到火炉、竹篮。 只见老师傅从醒好的面团上揪下来一团一团，甩到面板上，反复摔打揉搓，内裹葱花油酥，做成圆饼，然后四周沾水，沾满芝麻，放置于烤炉之上，不一小会儿，金灿灿的胡饼就出炉了，中间微微焦黄，两头翘起来厚墩墩的。 拿纸包着，热气腾腾，吃起来外层酥脆，内层鲜香，嚼之异香可口，怪不得白居易都为其赋诗一首。  不过，虽然老师傅手艺了得，但胡饼的大小还是微有不同，虽然都是圆形，但直径会在11-12厘米之间随机浮动：  ❝ 「假如从直径长度来考虑」 直径在11-12厘米之间的胡饼出现任何尺寸都是等可能的，而11-11.5厘米只包含了一般的可能长度。  根据图形，我们可以轻松得到概率为 「假如从面积来考虑」 直径在11-12厘米之间的胡饼面积为 到 之间；直径在11-11.5厘米之间的胡饼面积为 到 之间。  根据图形，我们也可以轻松得到概率 从不同的角度来看，虽然是同一个问题，但由于研究的等概率对象不同：「“长度」”和“「面积」”，导致出现不同的概率。 虽然听上去是一个或一组没什么问题的陈述，但是又会导致与直觉对立的结论，游走于哲学与数学的不稳定之中。 这就是贝特朗奇论，下面我们看以下完整版。 贝特朗奇论法国数学家「贝特朗」就对这个等可能的假设很好奇，1888年在他的著作 「《概率论》」 中提到了一个悖论——贝特朗奇论。 ❝ 看上去很简单，对不？那咱们一起画个圆~ 但接下来的解法就大不相同了。 方法一：基于圆周上点的等可能假设因为任何弦的两个端点都在圆周上，那么取弦之时，先假设一个端点是固定的，比如该图中 点，以此点为顶点作一等边三角形 。另一个端点在圆周上移动，只有当其落在弧 上的时候，也就是这些红色的弦才是满足要求的。 因为另一个端点跑过的弧长是整个圆周的 ，所以此时按照几何概率的等可能假设，可得 方法二：基于弦中点在直径上的等可能假设因为任何弦的长度和它与圆心的距离有关，而与方向无关。假设弦垂直的直径为 。根据勾股定理，当弦与直径的垂足在线段 滑动时，即与圆心的距离小于 时，所得红色的弦满足要求，此时 方法三：基于弦中点在圆内的等可能假设因为任何弦可以被其中点唯一确定，假如我们绘制一个半径只有大圆 的同心小圆，若中点落入同心黄色小圆之时，红色的弦满足要求，此时小圆面积为大圆面积的 ，此时， 每一个方法都有充足的理由，所得结果却大相径庭，原因在于采用了「不同的等可能假设」。 这是因为在 19 世纪末的时候，人们「还没有关于概率的一个严谨的定义」，这导致不同的随机选择方法，出现不同的结果。 肆 选歌台和丝巾小摊的公理化概率1.随机事件不随便概率小镇上也不乏街边驻唱的歌手，听什么歌？随机来一首吧！ 还有卖丝巾的小摊位，要什么颜色的？颜色太多有点儿眼花缭乱？没关系，随机拿一条好啦！ 随机性「这里的随机是什么意思？真的就是随随便便么？」 自然不是，驻唱歌手会的歌有限，假如他只会周杰伦的歌，或者更少，只会《依然范特西》专辑的曲子，那么所有可能的结果都在这个专辑的 首歌曲中。 颜色呢，可能出现的颜色是有限的，假如都在「颜色清单」中，清单中有“中国红、少女粉、湖水蓝、丁香紫、深海蓝”五种，那么随机选一种，也是从这五种里面选择。 ❝ 随机性是不是不确定性呢？这还要从事件可能出现的结果来看。 因此，如果问“「我今天出门会发生什么事」”这个事件是不是随机的？ 我的回答为“「不是」”。 因为我无法把所有可能的结果找出来：或许我会遇到“打雷下雨”，或许我会遇到“久别重逢的老友”， 或许我会“吃碗汤圆，来个胡饼”，或许我会“买根冰糖葫芦”，等等，这取决于我在概率小镇遇到什么了。 ❝ 随机事件不是普通的事件从语法角度来看，“「随机事件」”这个名词的主体是“事件”，修饰的定语是“「随机」”。 常说的“9·11事件”、“厄尔尼诺事件”等历史或自然事件是随机事件么？ 不是，随机事件这个词，关键在定语“随机”上。“9·11事件”、“厄尔尼诺事件”等事件显然是已经发生的事情或者某种既定的现象。 不符合我们之前所说的“随机性” 对我们来说，随机事件就是指无法预测但是可以推测发生可能性的事件，这也是数学家们争论多年而达到的共识。往往，如果说一件事情是随机的，指的就是这件事发生出现的结果是不能够被预测的。 2.样本空间包括了所有结果虽然知道了什么是随机事件，但是如何定量描述随机事件发生的可能性呢？ 这种量化并不复杂，只要我们找到「样本空间」，然后查看一下随机事件在样本空间的比率即可。 这里的样本空间，就是「一件事情可能发生的所有结果构成的集合」，比如之前， 「选曲时」，样本空间就是《依然范特西》专辑曲目：夜的第七章 , 听妈妈的话 , 千里之外 , 本草纲目 , 退后 , 红模仿 , 心雨 , 白色风车 , 迷迭香 , 菊花台 ； 「挑丝巾时」，样本空间就是“颜色清单”：中国红 , 少女粉 , 湖水蓝 , 丁香紫 , 深海蓝。 3.概率本质为比率在集合的定义下，随机事件是样本空间的一个子集，所有这些可能的子集构成在「公理化概率中的事件域」，也就是说随机事件就是事件域的一个「元素」。 以选曲子为例，每一首曲子都是单一的无法再分割的结果，所以是基本事件，而且如果假设每首曲子「被选中的可能性相同」，及所有的基本事件具有相同的概率，为 。 样本空间包含所有的基本事件，这些基本事件的概率之和必定为 。 这告诉我们： ❝ 4.公理化概率科学之所以得以发展，离不开科学家们的探讨与质疑。 ❝ 接下来请随小简来到概率小镇的一处景点，石碑上刻着一段历史。 为使概率的含义更加明确，1933 年时，俄国数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫(Andrey Kolmogorov) 在《概率论基本概念》一书中提出概率的公理化定义。 以数学集合论的观点解决了概率定义的问题。 设 是随机试验，相应的样本空间为非空集合 ， 的所有子集组成的集合为事件域 ，给 中的每个元素赋予一个实数得到一个实值函数 ，如果它满足以下三个条件： ❝ 则称 是 上的概率。 这个概念虽然比起古典概率更严格准确，但是却因为涉及众多抽象的数学名词而让人望而却步。 不过，有了小简刚才给大家解释的三个关于概率的小特点，理解这个概念就不难了。简而言之，概率的内核就是：「概率就是为了定量描述随机事件发生可能性大小的工具」。 可以发现，为计算出一个准确的概率，需要找到完整的样本空间，但是样本空间的完备性其实就像一个不断扩充的边界。 比如，人类一直在探索生命，世界上到底有多少物种，至今未有精准答案，所以，从另一个角度来说，「人类对世界的探索，无疑是对样本空间的完善」。 谢谢你的收看，本期的数学漫谈就聊到这里啦，喜欢这篇文章的小伙伴，请记得「转发+点赞+在看」，祝你新年的所有心愿都能实现~ 参考文献：
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