【原】答疑专区（2022.2.28）——关于高斯取整函数

公众号后台收到网友对于襄阳四中、五中自主招生考试试题中关于高斯取整函数的问题，这里给予一定解答：

原题如下：

这里给出了一些全新的定义：

(x)表示不小于x 的最小整数；

[x]表示不大于x的最大整数；

[x)表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数）

符号和定义永远是我们解决问题的基础，新定义的问题往往不是难题，按照给出的定义去解答就好。事实上，上述定义中[x]就是著名的高斯取整函数。

问题中给出了若干选项，我们逐一来看：

①当x=2.3时，(x)=3，[x]=2，[x)=2，故而(x)+[x]+[x)=7；

②当x=-2.3时，(x)=-2，[x]=-3，[x)=-2，故而(x)+[x]+[x)=-7；

③和④，比较(x+y)与(x)+(y)的大小关系及[x-y]与[x]-[y]的大小关系，我们把相应的量按照整数部分和小数部分来拆分方便我们论证

当x和y均为整数时，显然上述不等关系成立，且恰好取得等号，下面考虑x、y不为整数的情况

设{x}为x的小数部分，即满足x=[x]+{x}，其中0≤{x}<1，则当x不为整数时，即{x}≠0时有(x)=[x]+1

③

(x+y)=([x]+{x}+[y]+{y})=[x]+[y]+({x}+{y})

∵0≤{x}<1，0≤{y}<1

∴({x}+{y})≤2（事实上({x}+{y})只有两个取值，1或2）

∴[x]+[y]+({x}+{y})≤[x]+[y]+2=(x)+(y)

即(x+y)≤(x)+(y)

④

[x-y]=[[x]+{x}-[y]-{y}]=[x]-[y]+[{x}-{y}]

∵0≤{x}<1，0≤{y}<1

∴-1≤[{x}-{y}]≤0（事实上[{x}-{y}]只有两个取值，-1或0）

∴[x-y]≤[x]-[y]

以上简要分析。关于高斯取整函数，我们就将其整数部分和小数部分剥离开进行探究即可，其相关内容还可参考之前的推文浅析高斯取整函数