中考数学压轴题分析：角度相等与面积倍比问题

本文内容选自2021年贵港中考数学压轴题。以二次函数为背景，角度相等和面积倍数关系的问题。属于常规题型。

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【中考真题】

（2021·贵港）如图，已知抛物线与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

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【分析】

（1）代入点A、C的坐标，再代入对称轴x=-1，即可得到抛物线的解析式。

（2）由于∠BAC为定角，而AB为定边，所以可以发现有两种情况，分别是点D在AB的上方或者下方。设点D的坐标根据三角函数或相似建立比例关系求解即可。

（3）先由（2）得到点D的坐标，然后设点P的坐标，用割补法表示出△BDP的面积，然后根据条件得到x＜0，那么就可以进行排除。难度不大。

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【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴，
∴b＝2a，
∵点C的坐标为（0，2），
∴c＝2，
∴抛物线的解析式为，
∵点A（﹣3，0）在抛物线上，
∴9a﹣6a+2＝0，
∴a，
∴b＝2a，
∴抛物线的解析式为；

（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，
记BD与AC的交点为点E，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵直线x＝﹣1垂直平分AB，
∴点E在直线x＝﹣1上，
∵点A（﹣3，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为yx+2，
当x＝﹣1时，y，
∴点E（﹣1，），
∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
∴直线BD的解析式为yx，
即直线l的解析式为yx；

Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴BD∥AC，
由Ⅰ知，直线AC的解析式为yx+2，
∴直线BD的解析式为yx，
即直线l的解析式为yx；
综上，直线l的解析式为yx或yx；

（3）由（2）知，直线BD的解析式为yx①，
∵抛物线的解析式为yx²x+2②，
∴或，
∴D（﹣4，），
∴，
∵，
∴，
∵点P在y轴左侧的抛物线上，
∴设，
过P作y轴的平行线交直线BD于F，
∴F（m，m），
∴，
∴，
∴m＝﹣5或m＝2（舍）或m＝﹣1或m＝﹣2，
∴P（﹣5，﹣8）或（﹣1，）或（﹣2，2）．