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题目：是否存在连续2020个自然数都不是质数？ 这道题属是数论中的一个经典命题，证明的方法非常巧妙，只用一句话就可以说明。而且这里的2020可以修改为任何数字n，所以非常适合按年份来出题。 如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。 思路分析： 从2021!+2开始的2020个数都是合数，其中2021！表示2021的阶乘，即不大于2021的所有正整数相乘。 很多人看到这种方法都倍觉巧妙，但这种方法是如何想到的？这是我们今天剖析的重点。 考虑一个数什么时候是合数，然后把连续2020个数写为某种形式，让所有这种形式的数都满足合数的条件。 步骤1： 先考虑第一个问题，把连续2020个自然数写出来。 假设这些自然数中最小的是n，则所有自然数从小到大依次是： n,n+1,n+2,…,n+2019。 注意到对正整数n和k,当k>1时，如果n是k的整数倍，则n+k也是k的整数倍，且n+k一定是合数。 想要让上面连续2020个数都是合数，自然想到利用合数的这个性质， 为了让满足k>1的条件， 可以假设n-2=a,则上面的2020个数可以写为： a+2,a+3,a+4,……,a+2021。 步骤2： 再考虑第二个问题，考虑原题目的答案。 在步骤1的基础上继续思考，根据上面关于n+k是合数的性质， 如果a是2,3,4,…,2021的公倍数，则上述2020个数都是合数。 自然想到让a=2*3*4*…*2021=2021!，则a+2,a+3,a+4,……,a+2021都是合数。 所以原题的答案是存在。 注：这道题中把2020改为任意自然数n, 结论依然成立，只需要从(n+1)!+2开始的n个数即可。 你学会了吗？ 有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题 思考题：有没有一个自然数a，使a,a+4,a+8和a+12这4个数都是质数？ 本自媒体长期分享数学趣题、解题技巧，致力于数学科普和拓展数学思维，每日定更，觉得内容有兴趣的可以长期关注哦！ |
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