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自从2005年接受《义务教育数学课程标准》修订任务以来，我就与我国基础教育阶段的数学结下了不解之缘。修订后的义教数学课标于2011年颁布之后是对义教数学教材的审定，修订后的高中数学标准于2017年颁布之后是对高中数学教材的审定，现在又转到对义教数学课标的再次修订；非常高兴的是，在这样的过程中，我与我国高校数学教育研究的专家、与活跃在数学教育一线的各省市教研员和优秀中小学数学教师建立了密切联系，共同商讨课标，商榷教学中的问题，也在这样的过程中逐渐升华数学教育教学的理念。就在近日，收到华应龙老师寄来的40多万字新著《当阳光亲吻乌云——华应龙化错数学经典课堂16例》，邀我为此书作序。 华应龙是一位非常活跃的小学数学特级教师，出版过多本数学教育方面的著作，经常在全国各地讲授公开课，受到同行的关注和学生的喜爱，现在这本《当阳光亲吻乌云——华应龙化错数学经典课堂16例》就是以课堂实录和专家评论的形式奉献给读者的。虽然没有亲临过现场，但从这些课程实录和专家评论中，可以感悟到华应龙老师鲜明的教学风格和教育理念。我想，至少有下面三条是值得思考和借鉴的。 让学生在差异中求真。传统的数学教育强调的是正面讲授，对于一个概念或者方法的理解，无论是教材的编写还是教师的教学活动，举出的例子往往是雷同的，这是为了突出共性；但对于许多事情，不分辨差异就不能更深刻地理解共性，也很难基于共性进行创新。因此，分辨差异往往也是重要的，华应龙老师对此做了很好的尝试。比如，第12例的标题就是：错误往往是创造的开始—-以作业讲评课“猜想之后”为例。这堂课的课堂实录是从哥德巴赫猜想开始，让学生知道到什么是猜想，然后回到这堂课的主题，华应龙老师这样转折：我要告诉大家，前几天我在同学们作业本上发现了两个很有意思的猜想。我跟老师们交流之后，老师们说“以前也见过，很有意思！”我今天拿过来和在座同学们分享，大家请看：25.3×4.2=25×4+0.3×0.2=100+0.06=100.06 如果这个结论是对的，那么如同有的学生所说的那样，就可以得到猜想“两个数的乘积等于两个数的整数部分乘积加上小数部分的乘积”。但是，很容易验证这个结论是错误的，因此这个猜想不成立；即便如此，在错误的辨析中学生对乘法分配律的理解会更加深刻。在这个基础上，华应龙老师又把学生引导到除法分配律的猜想，通过举例说明“加减法对除法分配律成立、除法对加减法分配律不成立”，再次引导学生经历提出猜想与验证猜想的过程。可以看到，通过这样的正反两个方面的分析，学生不仅可以感悟分配律的数学本质，同时也如华应龙老师最后总结的那样，在提出猜想与验证猜想的过程中，让学生感悟这样的基本思想方法：否定一个结论只需要举出一个反例，肯定一个结论需要数学证明。显然，这种思想方法是具有一般性的。显然，不能指望一堂课就让学生学会数学的思考，但我相信，只要如此这般的日积月累，学生才可能敢于进行数学的思考、善于进行数学的思考，或许还能增强学生学习数学的兴趣。让学生学会自己探索。我有一位学生曾经问我：为什么这么重视尺规作图，我回答是能够培养学生的想象力；我以作角平分线为例解释说，只教作图的教学方法是不可以的，应当启发学生思考：怎么会想到要这样作图？最终要让学生感悟数学的本质：平分角是如何实现的？事实上，也只有这有的数学教学才是自然的，才是符合人的认知规律的。华应龙老师在小学数学的教学中也实践了这样的理念，正如第7例标题所述：让学习像呼吸一样自然——以“角的度量”为例。如果这堂课的教学任务只是让学生学会使用量角器，那么教师只需要告诉学生如何使用量角器，这堂课的任务就完成了；但是，正如前面所说的那样，仅仅教会学生如何使用工具是不可以的，我们需要在教学的过程中培养学生对数学本质的理解，学会数学的想象力。为此，在这堂课的教学活动中，华应龙老师先让学生一边动作操作一边思考问题“量角器上有没有角？角在哪儿？”；然后让学生在“纸制量角器”上画不同度数的“角”，最后再用量角器自己度量角的大小。如专家评论的那样，有人一定会问：绕这么一大圈才到量角，是不是舍近求远、画蛇添足呢？事实上，小学生真正理解角的概念是非常困难的。教科书这样述说角的概念：由一个点引出的两条射线所形成的图形。这个述说实在含糊不清，图形中的那个部分是角呢？特别是，射线是构建角的核心要素吗？我们知道，理解角的关键是对角的度量，这就引发了一个根本性的问题，可以用什么样的方法确定角的大小。在现在数学，通常用两种方法度量角的大小：一种方法是度量角的两条边张口大小，这就是角度制，一个圆周是360度；另一种方法是在单位圆上度量角所对应的弧长，这就是弧度制，一个圆周是2π。可以看到，量角器很好地体现了这两种度量方法。因此，只有让学生自己在量角器上寻找角，发现量角器上的角与日常生活中角的关系，才能感悟应当如何度量角的大小，才能真正感悟到什么是角。于是在这样的过程中，学生就开始了数学的思考，在思考的过程中理解数学的本质，在思考的过程中学会学习。 让学生学会尝试求解。第11例的标题是有趣的：错着、错着、错着，就对了——以“师徒年龄问题”为例。上课伊始，在教室前面的屏幕上出示这样题目，徒弟：师父您多大了？师父：我在你这年纪时，你才5岁；但你到我这年纪时，我就71岁了！请问：徒弟几岁？师父几岁？无论如何，即便是通过教师非常耐心地讲解，小学生理解这道题也是比较困难的。但华应龙老师却是让学生自己尝试求解：通过具体的数值计算，寻找解决问题的思路；如同几位专家的评述，这是投石问路。在教师的启发下，在反复的尝试中，学生逐渐感悟解题的关键，这就是年龄变化中的不变量：年龄差。事实上，这个题目中有两个未知量：师父的年龄和徒弟的年龄；因此，通过只有一个未知量的问题进行教学过渡是明智的，问题可以是这样的——老师对学生说：我像你这么大时，你才1岁，你到我这样大的时候，我是多少岁？因为学生知道自己的岁数，因此通过条件可以计算出老师与自己的岁数差，然后，再次通过岁数差计算出老师未来的岁数。通过课后专家的评论可以知道，这堂课原来的标题也很亲切：我不是笨小孩。具体的数值计算看似笨拙，但却是得到一般结论的必由之路，这是一种归纳的方法，是一种发明创造不可或缺的方法，也是在现今的数学教学活动中被忽略了的方法。大家知道，三维课程目标强调过程的教育，这里所说的过程主要是指学生思维的过程和实践的过程，因此，让学生尝试自己得到结论是重要的教育过程，学生只有经历自己独立思考的过程才能积累思维的经验，才能学会思考。 华应龙老师有较好的人文修养，讲课有条理、语言生动，因此他的课堂深受学生的喜爱，也受到许多专家和教师的赞赏。这种效果的取得源于精益求精。这本书涉及到的16个课堂实录，都经历了长时间的思索，都是千锤百炼的结果。
在取众家之长、独立思考的基础上，悟出“分数的意义”的核心是“分数单位”，经历反复实践摸索、总结经验，最终形成了自己课堂。于是，华应龙老师的教学活动就贯穿着“课前慎思”“课中笃行”“课后明辨”这样的环节。他的数学课堂，不仅从既定的教材内容出发，而往往是从生活实际出发、从儿童的生活经验和思维实际出发，不回避、甚至有意识地展露学生认知过程中可能会出现的差错，进行分析解剖、对比矫正，让学生感悟数学内容的本质。并在这样的过程中，引领学生学会自然思考、抽象概括，敢于质疑、积极探究，在日积月累之中，使得学生的数学修养得到形成和发展。这本书还有一个特色，就是课后点评。从本书辑录的课堂评论看，华应龙老师的这些课，都能引发诸多专家和名师的赏析与评论，有的一课竟有四五篇不同角度的点评，这些点评条理清晰、相当深入，有的几乎可以独立成章。我相信，这样的点评一定会对读者有所启发。我曾经说过：为了数学的严谨性，现代数学逐渐走向符号化、形式化和公理化，但作为教学的数学学科却应当反其道而行之。数学教学要给学生创造直观思维的机会，给学生的“悟”留有充分的时间和空间：虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的；虽然逻辑的基础是公理化，但思维的过程应当是归纳的。为了实现这样的教学过程，就要求教师在数学教学活动中，抓住数学的本质，关注学生的思维过程；创设合适的情境，提出恰当的问题；启发学生独立思考，鼓励学生与他人交流。在这样的过程中，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。我想，这大概就是基于“四基”的数学教学，也是基于“数学核心素养”的数学教学。我对小学数学教育教学研究不够，因此评述不可能十分准确，只是从华应龙老师的教学实例中提炼出我所认为应当提倡的东西，供读者参考。我相信，读者通过自己的阅读一定会有很多收获。
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