丁福军 等:指向数学核心素养的问题链教学设计

“本期推荐丁福军、张维忠、唐恒钧《指向数学核心素养的问题链教学设计》一文。该文发表于《教育科学研究》2021年第9期，并被人大复印资料《高中数学教与学》2022年第2期全文转载。”

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何谓问题链教学

数学问题链是指彼此关联而有序的主问题串。问题链教学则是指在课堂上通过这些有内在逻辑的主干问题串驱动学生的数学学习与探究，使学生经历数学知识形成发展的全过程，在为学生提供高质量的数学内容的同时，引导学生进行高水平的数学思维活动，促进学生的深度理解。

首先，问题链教学在设计上注重新旧数学知识间的内在关联，具体包括知识关联、方法关联和视角关联等三种关联方式；其次，问题链教学强调从整体上考虑问题间的顺序及其背后所反映出来的数学思想方法，使学生对数学问题的思考过程变得有脉络；最后，问题链教学为学生经历数学知识的形成与建构过程提供了载体，让学生看到“活生生”的数学研究工作，而不是静止的数学“套装知识”。

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问题链教学何以培养数学核心素养

问题链教学将数学核心素养培养的理念自然地嵌入教学的整个过程之中。具体而言，其如下特征指向了数学核心素养的培养。

（一） 立足问题情境的问题链教学为培养数学核心素养提供了外在场域

数学核心素养作为学生数学学习中最需要聚焦的思维品质、关键能力，其培养和提升总是与数学问题解决的实践密不可分。为学生提供深度探究的问题情境场域，是培养数学核心素养的教学诉求。

问题链教学立足问题情境，将传统以数学知识为主线的教学，转换为以数学问题解决为主线的教学。首先，问题链教学通过彼此关联的过程性问题情境的设置，使学生能够积极主动地经历“问题情境—方法—抽象的概念”的数学化过程，以发展学生的“数学抽象”能力；其次，过程性问题情境透过问题间的关联与跨度，让学生对数学概念性质及结构有更为深入的理解与掌握，利于发展学生的“数学推理”能力；最后，教师通过引导学生解决彼此关联的过程性情境问题，使学生“数学建模”能力得以发展。

（二） 注重迁移与思维的问题链教学为培养数学核心素养提供了内在动力

数学核心素养具有迁移的特征与诉求。数学核心素养一旦形成，学生就能在今后的数学学习及解决不同情境问题中广泛地进行迁移。因而，在理解的基础上，注重学生迁移能力的发展对于培养数学核心素养尤为重要。问题链教学在设计上通过知识关联、方法关联和视角关联等方式，深刻揭示了新旧数学知识之间的内在联系，在教学实践中注重引导学生在面对新的、复杂的问题情境时，利用已有的知识、方法及视角进行解决，很好地实现了数学学习的强迁移。

发展学生的思维能力、提高学生的思维品质是培养数学核心素养的关键。一个好的问题链就是学生的思维链。问题链教学关注学生思维的发展，表现在两个方面：一是学生在教师所设计的主干问题的驱动下进行独立探索是问题链教学中非常重要的学习行为；二是问题链教学中问题间的跨度与关联具有逻辑性和激发性。

（三） 以核心问题为主线的问题链教学为培养数学核心素养提供了可能架构

指向数学核心素养教学的关键在于确定内隐于教学内容的核心观念，并引导学生进行理解与运用。立足数学核心素养目标对教学内容进行单元学习主题设计，深入厘清单元学习主题的基本结构与内在脉络，把握其中的数学核心观念，通过引导学生对核心问题的探究，突破对数学核心观念的理解与运用，是培养数学核心素养的基本要义。

以核心问题为主线的问题链教学很好地契合了这一要义，为培养数学核心素养提供了可能架构。一方面，以关联为基础的问题链教学，通过知识关联、方法关联及视角关联等方式，能有效厘清数学内容的基本结构与内在脉络，为实现单元学习主题教学提供抓手。另一方面，问题链中的各个主干问题作为“学习入口”，直指数学教学内容中的核心观念。在具体教学过程中，通过引导学生对主干问题的深度探究，使学生的思维发展经历从“问题—方法—方法论”的数学化全过程，驱动学生深入理解数学核心观念背后所蕴含的知识与思想方法，达到对数学核心观念的理解与运用。

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如何进行指向数学核心素养的问题链教学设计

问题链教学的理念与特征很好地契合了数学核心素养培养的教学要义。指向数学核心素养的问题链教学关键在于围绕数学核心素养的落实，确定高质量的主干问题及铺设序列化子问题，其遵循如下基本思路。

（一） 基于数学核心素养目标确定单元学习主题中的核心观念

基于数学核心素养目标厘清与确认单元学习主题中的核心观念，是进行指向数学核心素养的问题链教学的前提。数学核心观念的确定依赖于对单元学习主题基本结构与内在脉络的深入理解与把握，需要勾勒出单元学习主题中数学知识间相互关联、结构化的节点，彰显数学知识、原理及基本思想之间的关系性及结构性，建构出数学知识地图。首先，结合相应的数学课程文本 （教科书、课程标准等），遵循数学知识发展的线索，并依据“三关联” 来确定单元学习主题；其次，结合数学课程标准把握单元学习主题的数学核心素养目标要求，明确该单元学习主题旨在培养哪些数学核心素养，其中哪些又是最主要的；最后，基于数学核心素养目标要求，立足所确定的单元学习主题，梳理与厘清其中的知识结构与内在脉络，筛选与确定数学核心观念，并建构出该单元学习主题的数学知识地图。

以普通高中数学人民教育出版社 A 版选修 2-2 中“变化率与导数”这一内容为例，基于数学教材与课程标准可知，该部分主要涉及平均变化率、瞬时变化率与导数、导数的几何意义等内容，各内容之间关联紧密。为了更好体现导数概念的本质，反映其背后的数学基本思想，让学生完整地理解导数产生的背景、目标及意义，可将其作为一个单元学习主题进行整体设计。结合数学课程标准对该内容深入分析可知，其主要培养学生数学抽象、直观想象及数学运算等核心素养。基于数学核心素养目标对单元学习主题的基本结构与脉络进行分析，可以确定其以“瞬时变化率是平均变化率关于∆x 趋近于 0 的极限；导数是瞬时变化率的数学表达”为核心观念，基于此可建构出该单元学习主题的数学知识地图，具体见图 1。

图 1“变化率与导数”单元学习主题的数学知识地图

（二） 依据数学核心观念设置与之关联的主干问题

指向数学核心素养的问题链教学，将对数学核心观念的理解转化为对高质量主干问题的探究。因此，在筛选与确定数学核心观念的基础上，设置与之关联的高质量主干问题十分关键。数学主干问题的设置需满足如下几点要求：一是主干问题需要是促使数学核心观念产生或被发现的原始性问题，需揭示数学核心观念背后的知识本质，反映数学知识的被发现及发展脉络，彰显其蕴含的数学基本思想；二是主干问题是与数学教学内容密切相关的少而精的关键问题，并有一定的思维含金量，能给学生的积极思考与探究提供充足的空间；三是主干问题的设置需要具有一定的挑战性和开放性，学生一旦解答了主干问题，就能运用学科思想或价值观自上而下地将大量的下位概念和事实材料有机地组织起来；四是各主干问题间在数学知识、思想方法、学科思维观念及价值观等方面彼此关联。

以“变化率与导数”为例，围绕单元学习主题中的数学核心观念，在设置相应的主干问题时，需注重涵盖导数引入的缘由、方法以及导数的意义等基本内涵。让学生充分经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会极限思想，感受“以直代曲”的微积分基本思想，深刻理解导数概念的基本内涵即“导数就是瞬时变化率”。基于此，可以设置如下主干问题（见表 1）。

通过以上两个紧密关联的主干问题，让学生在充分经历导数概念形成的过程中，透过其本质特征理解导数概念的内涵，并会用准确的数学语言进行表述，从而达到对数学核心观念的理解与运用。

（三） 围绕数学主干问题铺设序列化子问题

问题链中的主干问题关联着教学内容中那些蕴含着数学核心素养的核心观念，但由于主干问题具有一定的统领性与综合性，因此，围绕主干问题需要铺设目标一致的序列化子问题，为学生的学习与探究搭建脚手架。总体来说，围绕主干问题铺设序列化子问题需要关注如下三个方面。其一，序列化子问题的铺设需要充分展示与主干问题关联的核心观念的发展与生成脉络，深入揭示其背后蕴含的数学知识与基本思想，让学生通过对子问题的探究，经过综合、整理、提炼等过程，实现由“子问题—主干问题—核心观念—数学核心素养”的领悟与提升；其二，序列化子问题的铺设在满足数学核心观念发展线索的同时，需要注重与学生认知发展的融合，即子问题的设计要满足学生的最近发展区；其三，序列化子问题的铺设不易太细、太密集，防止课堂异化为“满堂问”，子问题的设置需要注重适当的跨度与关联，给学生充足冷静思考与深度探究的空间。

以“变化率与导数”中的主干问题为例，围绕主干问题进行序列化子问题铺设时，需要通过现实情境问题引导学生充分了解平均变化率与瞬时变化率之间的关系，实现由平均变化率向瞬时变化率的过渡，以理解导数概念的本质，并能用抽象化的数学语言进行表达。基于此，可以铺设如下的子问题序列 （见表 2）

通过序列化子问题的设置，让学生在具体实例的基础上理解与把握一般函数 y=f（x）由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程及函数瞬间变化率的本质特征，并引导学生能用数学语言准确表示出导数的概念及表达式。

总而言之，进行指向数学核心素养的问题链教学，基于数学核心素养目标确定单元学习主题中的核心观念，建构数学知识地图是基础；依据数学核心观念设置与之关联的高质量主干问题是核心；围绕主干问题铺设利于学生思考与探究的序列化子问题是关键。需要进一步说明的是，整个指向数学核心素养的问题链教学思路，不是单方向直线式的过程，各环节之间是一个迭代循环的过程，在进行具体教学设计时，可根据实际情况进行回溯与调整。改革永远在路上，课堂教学改革往往比课程改革要慢得多，进一步推动指向数学核心素养的问题链教学改革实践还需扎根于具体的数学课堂，深入推进不同数学课型的课例研究。

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原文较长，以上文字，我们已经做了精简。一线教师对实践操作比较感兴趣，所以，文中“变化率与导数”案例，我们全文保留。若读者对本文内容感兴趣，可去知网下载全文。

2021级学科教学（数学）研究生黄凯同学学习此文后，写了如下心得，供大家参考。

       在阅读了《指向数学核心素养的问题链教学设计》之后，在问题链教学、论文写作和今后教学三个方面深受启发。

在对问题链教学的认识方面，文章梳理了问题链教学与数学核心素养之间可凭借问题为纽带，将两者紧密联系起来。整篇文章抓住了问题链中问题之间的关联性和逻辑性的特点，突出了问题链教学对学生思考、培养数学核心素养和日常教学三方面的帮助，即问题链教学能促进学生数学学习与探究，能为培养数学核心素养提供外在场域、内在动力和可能架构、能使日常教学更好落实数学核心素养。其中，对于问题链教学中主干问题的理论解释和设置印象深刻。主干问题是支撑起问题链的“骨骼”。它既是问题链教学主要内容，又是序列化子问题的生长点，也是培养学生核心素养的主要部分。因此，它的设置要根据课程本文、课程标准和核心素养三方面来综合形成，要考虑充分后合理设置。让我对问题链教学在数学核心素养方面有了更深的理解。

在论文写作方面，文章从紧扣标题，详细讲述问题链教学是什么、问题链教学为什么可以培养学生数学核心素养以及怎么用问题教学来培养学生数学核心素养并将其作为一级标题，把文章的概貌展示了出来。同时，在第二部分中，其二级标题将问题链教学中的问题情境、迁移与思维和核心问题几要素均有提及，并在内容编写中突出了问题链教学中问题的关联性、层次性和逻辑性，让读者充分感受到了问题链教学的核心以及问题链教学为何能培养学生数学核心素养。在第三部分中，通过理论和实践相结合，用实例来说明问题链教学在培养学生数学核心素养的作用，并提出问题链教学中问题设置的注意点，让读者更易理解，并使得文章有血有肉。

对自身今后教学方面也有启发。数学教学越来越重视学生数学核心素养的培养。数学教学又与问题密不可分。问题链教学提供了一个理论支持，使得教师在教学过程中更为关注课堂中问题的设置，问题之间层层递进，环环相扣，这对教师的教材理解、课堂展现和专业知识均有较高要求。将问题链教学落实在数学课堂和进行更多研究也需要老师们的共同努力。

通过此次文献阅读，我不仅学习到了问题链教学的相关知识，也让我对问题链教学和论文写作方面有了一定思考。首先，要提升自己的专业素养让自己呈现一节问题链教学的课堂。其次，问题链教学方面还有很多可以进行研究，需要我们更加努力。最后，在论文写作的过程中，论文要核心内容突出，撰写要有脉络，让论文有一个强力的支撑点。

此外，张豪同学也写了学习心得，以下摘录其部分文字：

米山国藏指出，将数学的精神、思想和方法深深铭刻于学生头脑中并使之活跃于学生的日常业务中，这才是“真正教育的旨趣”。通过唐恒钧、张维忠《数学问题链教学的理论与实践》一书中对推广链、特殊链、类比链、逆向链四类问题链的介绍，我提出在自己学习过程中的一得之见：我认为在构思某一具体小节的问题链教学设计时，可以在仔细研究教材章引言、节引言等体现本节思维脉络的细节的基础上，利用本节内容蕴含的思想方法，将其调整和挖掘成为主干问题，再铺以子问题进行研究。例如......（例子略去）

还有侯甜同学的学习心得里谈到了如何举例，摘录如下：

内容举例方面，纯理论的描述往往过于枯燥，适当的进行举例可以很好地佐证所要讲述的观点。丁福军博士在讲述如何进行指向数学核心素养的问题链教学设计的每个步骤中巧妙的加入了具体的教学内容，并且加入的教学内容也是按照这三个步骤来进行教学的，很好的证实了所提出的三步骤的可行性，也使得整篇行文不至于枯燥。这种对于理论知识和实际教学内容的巧妙结合值得我好好学习。