河南中考, 命题人喜欢让直接写出, 所以网页上一般查不到详细解析。 本文, 我将详细、原创分析探究, 保证同学们读后豁然开朗, 保证能够明白为什么这样解, 如何快速寻找突破点。 本文和中考息息相关。 对于即将跨进毕业班的初中学生, 请预习参考。 ![]() 第(1)问的图以及第(2)问图 正方形ABCD的 边AB可绕 点A逆时针旋转, 旋转角为∠2, ∠2在0°至360°之间变化。 点B旋转后的对应点为F。 连接BF, 过点D作直线BF的垂线, 垂足为点E,连接DF,CE。 (1)如图,当∠2=60°时, ①请判定△DEF的形状; ②连接BD, 试求出BF:CE的值。 (2)当∠2≠90°时, ①第一问中的两个结论还是否成立? 如果成立, 请仅就图2的情形进行证明; ②当以点C,D,E,F 为顶点的四边形是 平行四边形时, 请详细解出BE:FE的值。 ![]() 全体考生成功! 【解前四点分析】 一 凡遇到判定三角形形状, 外观看着像什么, 就奔着什么方向找条件。 就本题,看着像等腰直角。 往下快速找等腰的要素。 不必在两腰长度相等花心思, 因为本题中有等腰、有等边, 从角的度数容易打开局面。 二 凡遇到让求比值, 先观察是否有平行的因素。 或观察是否为相似三角形的对应边之比。 本题就该考虑证相似。 如何证相似? 等腰直角三角形的边的关系, 就是好资源。 往下, 三边对应成比例、 两角对应相等, 均不要考虑, 只考虑夹角! 三 判定上一问 的结论是否成立, 注意尽量沿袭上一问的的思路, 不宜另辟蹊径。 四 最后一问, 当斗转星移、动态变化至 形成平行四边形时, 注意! 那两个结论, 在题设范围内,是恒成立的! 必须充分利用! 此时,平行四边形这五个字, 是已知条件。 详解: (1)①: △DEF为 等腰直角三角形。 理由如下: ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠2+∠3=90° ∵旋转角∠2=60° ∴∠3=30° ∵AB旋转至AF ∴AF=AB ∴∠1=(180°-∠3)/2=75° 易知△ABF等边 ∴∠4=60° ∴∠5 =180°-∠4-∠1 =45°----① ∵DE⊥BF, ∴∠E=90°--② 由①②知: △DEF等腰直角。 (1)②: BF:CE=根号2。 ∵△BDC和 △FDE均等腰直角 ∴BD:DC=根号2 DF:DE=根号 ∴BD:DC=DF:DE ∴BD:DF=DC:DE ∵∠6+∠8 =∠7+∠8 =45° ∴∠6=∠7 ∴△BDF∽△CDE ∴本题结果根号2。 (2)①: 仍然成立。 理由是: 为了便于表达, 我把旋转角度改为n。 ∵∠BAF=n ∴∠1=n-90° 在等腰△BAF中 ∠3=(180°-n)/2 在等腰△DAF中 ∠AFD =(180°-∠1)/2 =[180°-(n-90°)]/2 =(270°-n)/2 则∠4 =∠AFD-∠3 =45° 又DE⊥BF ∴△DEF等腰Rt△ 在等腰Rt△中 斜边是直角边的 根号2倍,且 锐角均为45° ∴DF:DE=DB:DC ∴DF:DB=DE:DC---① 且∠5=∠6 同加上∠BDE ∴∠FDB=∠EDC---② 由①②得相似 ∴对应边 BF和CE比值为根号2。 (2)②: 分情形讨论。 情形1: 当旋转角在 0至90°间变化时 ∵四边形DFCE是平行四边形 ∴等腰Rt△DFE 与等腰Rt△CEF 全等, 且CE:FE=根号2。 ∵BF:CE=根号2, ∴BF:FE=(根号2)的平方, 即BF:FE=2。 ∴BE:FE=3。 或者以下证法: 由平行四边形知 DF=CE 而结论BF:CE=根号2恒成立 ∴BF=根号2倍的DF ∵等腰直角三角形 DF=根号2倍的FE ∴BF=2FE ∴BF=3FE 如果不愿意 利用那两个结论, 也照样能求解。 ∵平行四边形 对角线互相平分 ∴点O为DC的中点 BC:OC=2:1 而Rt△BCF与Rt△BOC相似 ∴BF:FC=2:1 ∵等腰直角三角形FC=FE ∴BF:FE=2:1 ∴BE:FE=3:1 ![]() 情形2: 当旋转角为 180°时 如图,显然有 BE:FE=1 当旋转角在 0°至360°之间 其它范围内变化时 均构不成平行四边形 综上,当以点 C,D,E,F为顶点 的四边形是平行四边形时, BE:FE的值为3或1。 其实本题, 不难证明, DF和CE一直 忠贞不渝地保持着 平行关系。 纵观本题, 主要考查学生基本 的判断推理能力和 动态分析能力, 兼顾考查基本计算、 四边形的性质和判定、 相似和全等等知识点, 倡导学生初步掌握 分类讨论的解题思想。 遗憾的是, 未侧重考查数形结合。 瑕不掩瑜, 仍不失为一道压轴综合题。 您如有新的见解或异议, 请您在评论区留言商榷。 您如遇到网页上查不到 具体答案的初高中问题, 也请您在评论区留言。 教务主任 教务主任,常年担任初高中各门主科的教学。 |
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