如何用行列式计算椭圆的面积

本文节选自《马同学图解线性代数》，了解更多细节，请点击下方的“阅读原文”。

同学们大家好，今天我们来学习如何用行列式计算椭圆的面积。

1 中学的思路

在中学的时候，我们是这样推导的。设椭圆的焦点在  轴上，半长轴和半短轴为  ，则它的图像是这样的。

在里面画上一个单位圆

直观上，我们可以看出，它是单位圆在  轴上增长  倍，  轴上增长  倍形成的

如果，把单位圆看成是若干个矩形组成的。

那么，在圆变成椭圆的过程中，就是把矩形的两条边增大了  倍和  倍。

这样椭圆的面积就是单位圆的  倍,从而得出椭圆面积为  ：  这个方法虽然很直观，但缺乏严谨性。比如肉眼可见的，左边部分的矩形并没填满圆，右边部分的矩形又超过了圆。

2 思想

下面，我们借用线代的工具来完成椭圆面积的推导，思路还是刚刚那个思路。将单位圆在  轴上增长  倍，  轴上增长  倍形成椭圆

只是把这段过程，用矩阵来描述

假如我们可以将圆与椭圆用向量来表示，并且求解出变换矩阵  。那么根据行列式的几何意义可以知道，变换后的面积，比上变换前的面积，就等于行列式。这样

3 圆和椭圆的表示

思路有了，下面开始具体操作。首先写出圆的参数方程,因为单位圆的半径为1，所以其参数方程为

据此，将它改写成一个二维向量

  这个向量存在在二维平面中，当  取具体值时，它就是平面上的一个点,当  在  到  范围内变化时，它就是圆

同样的，根据椭圆的参数方程，可以写出其向量形式

圆和椭圆现在都已经写成向量形式了，下面就还剩下映射矩阵需要求解

4 求解矩阵

要求解这个矩阵，还是要回到单位圆变椭圆的思路上来

可以看到，这个变化过程分为两步，第一步是在横向上拉长  倍,第二步就是在竖直方向上拉长  倍

这样，很容易看出两次变换所用的矩阵

继而求出变换矩阵

将它作用在单位圆上,得到的结果和刚刚椭圆的表达式相同。

 这再次说明了变换矩阵就是   。

5 结论

最后，根据行列式的几何意义可知

将  ,单位圆面积=  带入上式可得