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看了2022年日本东京大学的入学考试题，我能下手的不多，惆怅。试卷总共6道大题，涉及导数、积分、向量、数列和概率。没有送分题，相较而言，我们的考试温柔了许多。我是喜欢温柔的，太难了，烧脑又闹心。人间有味是清欢，盲目贪图冗繁，一时的狂欢恐变成打脸的难堪。所以今日带来一道老题——双共线，其特点是点多，线条也多，两个参数相互制约。双共线问题是我曾经写过的对象，目前能想到的手法有：1、韦达定理，设线联立，将参数表示为交点的坐标，韦达定理代换求解；2、同构法，将点的坐标表示为参数，代入曲线方程得到关于参数的一元二次方程，利用同构求解；3、如果涉及到焦点弦，可用第二定义、焦半径（坐标式和夹角式）、参数方程求解；法1，韦达定理。不得不说，本题的计算量还是有的。尤其是代入P点坐标后的方程，因式分解成为关键。不少人没能发现负1这个因子而折戟沉沙。法2，焦半径公式。焦半径已经包含了椭圆的信息，所以少了代入椭圆的步骤，解答也因此而变得简单。尽管焦半径不是教材的内容，但很少有人会视而不见。你问我的观点，我既不赞同，也不否认，反正我会，用不用是另外一回事。法3，同构法。我发现关于参数λ和μ的向量非常对称，所以想到了同构——即构造关于两个参数的一元二次方程，利用两根之积整体求解。构造函数、构造方程、函数与方程相互转化。法3是函数与方程思想的典型，是更高层次的解题手法，我很喜欢。法4，几何法。直觉告诉我，这里一定蕴含着对称关系。加上题目涉及到焦点弦，所以我想到了椭圆的第二定义。借助三角形外角平分线逆定理和相似三角形，得到了点P，N和点Q，M均关于x轴对称，由此可得两个参数互为倒数，其乘积自然为1。没有什么是比几何法更直白的了。你有没有发现：那些删掉的内容，都是考试的对象；那些删掉的内容，都是解题的方法。法5，伸缩变换。伸缩变换不改变比例关系，基于此，我将椭圆转化为单位圆。于是椭圆的焦点变为圆心，焦点弦变为圆的直径，自然两个参数λ和μ都等于1，其乘积也就是1。先猜后证，先确定结论，再证明结论成立，伸缩变换是不错的选择。在我的印象里，双共线在山东卷、福建卷、北京卷都有体现，未来也许就是全国卷了。
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