图8 草地上的牛 【题目】牛顿认为:“在学习科学的时候,做题比记规则更有用。”在《普遍的算术》一书中,牛顿常常会用一些实例对他所阐述的理论加以说明,下面的“牛吃草”一题就属于这一类的母题。 这里有一大片草地,草地上的所有青草长得同样密集,成长的速度也一样快。现在有70头牛,如果它们把这片草地上的草全部吃光需要24天。但如果是30头牛,就得用上60天才能完成这个任务。 那么如果想使这片草地上的草在96天内被吃完,需要多少头牛呢? 这个题目来自于契诃夫的作品《家庭教师》中的一个情节。家庭教师给他的学生出了这道题,他的学生连同两个成年的亲戚一起做了好久都没有解出答案,这令他们迷惑不解。 一个亲戚说:“真是奇怪,96天是24天的4倍,既然70头牛吃完这片草地需要24天,那么用96天吃完这片草地的牛数一定是70头的,也就是头牛……这真是太荒唐了。可是再往下看,30头牛要用60天吃完,如果按照这个条件来计算,结果更糟糕了——用90天吃完这片草地起码需要头牛!况且这根本是不同的结果。再有,70头牛用24天吃完的话,30头牛应该用56天就吃完了,根本不是60天啊!” 另一个亲戚插话说:“你可能忘记了一点,草是一直在生长着的。” 这的确是一个中肯的意见,是的,草在不停地生长着,必须要考虑这一点,否则根本解不出答案,因为题目中的条件也会互相矛盾。 那么你来想一想,这道题的正确解法应该是怎样的呢? 【解题】想要解出这道题,我们最好先弄清楚每天长出来的草量在总草量中占多大的比重。设每天长出的草量为y,24天长出的草量就是24y。再假设第一天的草量为1,则70头牛在24天里吃到的总草量为1+24y,现在我们可以知道70头牛每天吃掉的草量为: 那么每头牛每天吃掉的草就是:。 再来看30头牛用60天吃完整片草地这一已知条件,同样的方法可以得到,每头牛每天吃掉的草为:。 不论是70头牛的这一群,还是30头牛的这一群,每头牛每天吃草量都是相等的,由此可以得到方程: 通过解方程可得:。 可见草地上每天长出来的草量是总草量的,那么每头牛每天吃掉的草量与第一天草地上的草量之比就是: 有了上面的结论,我们就可以轻松地解出这道题了。假设能用96天吃完整片草地的牛数是x头,可列出如下的方程式: 解方程可得:x=20。 本题的答案是:想使这片草地上的草在96天内被吃完,需要20头牛。(俄.别莱利曼) |
|