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1、极值的定义定义 设 元函数 在 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于 的点 ，都有 则称函数 在点 处取得极大值 ，称点 为 的极大值点；如果对于该邻域内任何异于 的点 ，都有 则称函数 在 处取得极小值 ，称点 为 的极小值点． 2、可微函数取极值的必要条件定理 设 元函数 在点 处对各个自变量的一阶偏导数都存在，且在点 处取极值，则有 (1) 点 称为函数 的驻点或稳定点，所以具有一阶偏导数的 元函数，其极值点必定是驻点． (2) 若 为 的驻点且不为极值点，则称 为函数 的鞍点。 (3) 可微函数 在极值点 处有水平切平面，且切平面方程为 3、可微函数取极值的充分条件定理 设 元函数 在点 处具有二阶连续偏导数，且 记 为 在点 处的黑塞矩阵： (1) 如果 正定，则 为 的极小值点； (2) 如果 负定，则 为 的极大值点； (3) 如果 不定，则 为 的鞍点； (4) 其他情况需要另行判定. 4、二元函数极值判定的充分条件定理 设二元函数 在 处具有二阶连续的偏导数，且 并记 则：(1) 如果 ，且 ，则 在 处取极小值； (2) 如果 ，且 ，则 在 处取极大值； (3) 如果 ，则 在 处不取极值； (4) 其他情况需要另行讨论. 5、实对称矩阵的正定性相关定义及判定(1) 实对称矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零；即 (2) 实对称矩阵负定的充要条件是它的奇数阶主子式小于零，偶数阶主子式大于零，即 (3) 实对称矩阵正定：所有特征根大于零。 (4) 实对称矩阵负定：所有特征根小于零。 (5) 实对称矩阵半正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于等于 。 (6) 实对称矩阵半负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于等于 ，并且它的所有偶数阶主子式都大于等于 。 (7) 如果实对称矩阵既不是半正定的，也不是半负定的，就称为不定矩阵。 (8) 实对称矩阵 为正定的充要条件是: (9) 实对称矩阵 为负定的充要条件是: (10) 实对称矩阵 为不定的充要条件是: 6、无条件极值的计算判断步骤无条件极值问题是指目标函数只有定义域(自然定义域或实际定义域)范围限制的极值问题，其计算步骤可以概括为如下几步： 第一步：求出所有可能的极值点 令梯度等于零求出所有驻点坐标和偏导数不存在的点坐标，一般对于初等多元函数只需要考虑驻点. 第二步：驻点判定是否取到极值 (1) 对于驻点，二阶偏导数存在时，采用充分条件判定驻点是否取到极值，取到极值时计算相应的函数值； (2) 对于充分条件判定失败的驻点和导数不存在的点，极值的判定采用定义法进行判定，如果判定点不为极值点，还可以考虑特殊路径法来判定函数不取到极值，即在点的任意邻域内总有大于函数值的点，也有小于函数值的点存在，则函数不取极值. 【注】 对于二元函数而言，曲面上经过由极值点确定的曲面上的点的任何曲线在极值点位置取得相同性质的极值. 对于其他多元函数也一样，即经过极值点，变量个数少于原来函数变量个数的函数在该点也取相同性质的极值. 参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“多元函数微分法内容总结、课件与练习”查看该章节内容列表！ 相关推荐 ● 高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单 高数线代 下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！ ● 历届考研真题及详细参考解答浏览 考研帮助 菜单中 考研指南真题练习 选项 ● 全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部 竞赛实验 下 竞赛试题与通知 选项 |
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