【原】学会这四种方法，证明线面平行再也难不到你，高考数学立体几何

证明直线和平面平行，最容易想到的是使用它的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

关键是如何在平面内找到一条与已知直线平行的直线。

既然要证明是直线L平行于平面α，那么直线L肯定是平行平面α的，根据直线与平面平行的性质定理“如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行”，这条交线就是我们要找的平行线。

由此，证明直线L平行于平面α，只需过直线L作一个平面β与平面α相交，然后证明交线和直线L平行即可。这是证明直线和平面平行的第一种途径。

根据平面与平面平行的性质可知：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。由此可以得到证明直线与平面平行的第二种途径：只需过已知直线作一个平面平行于已知平面。

上面这些都是理论层面的内容，不论是途径一还是途径二，都需要过已知直线作平面，这才是证明线面平行真正的关键之处。

接下来要讲的四种方法，实际上是四种不同的过已知直线快速作出适合解题的平面的方法。只要你全部理解掌握了，我敢说证明线面平行的问题咱也难不到你。

方法一：

如下图，要证明直线AB//平面β，只需找出或者作出一条线段CD，使线段CD既与AB相交，又与平面β相交（交点为D），且线段CD穿过AB，设相交直线CD和AB所确定的平面为α，连结CB，设CB与平面β的交点为E，则DE就是平面 α与平面β的交线，则只需证明直线AB平行交线DE即可。

方法一的关键之处是线段CD一定要穿过AB，因为这样才能通过连结C、B找到两个平面的另一个公共点E。

例如：

观察可以发现，线段CP既与直线BE相交，又与平面PAD相交，且线段CP穿过了直线BE，所以直线CP就是要优先考虑的相交直线。

如下图，延长DA、CB，两直线相交于点M，则M点和P点既在平面CEB内，又在平面PAD内，所以PM就是平面CEB和平面PAD的交线；然后证明直线BE平行PM就可以了。

方法二：

如下图，要证明直线AB//平面β，只需过点A找出或者作出一条线段AC，使线段AC与平面β相交（交点为M），且线段AC穿过平面β，然后连结BC，设BC与平面β的交点为N，则MN就是平面ABC与平面β的交线，则只需证明直线AB平行交线MN即可。

方法二的关键之处是所选择的线段AC一定要穿过平面β，因为这样才能通过连结B、C找到两个平面的另一个公共点N。

例：

线段PC穿过了平面BEF，所以选择直线PC来与PA确定相交平面。连结AC交BF于点N，则EN就是平面PAC与平面BEF的交线，则只需证明PA//EN就可以了。

方法三：

利用“两条直线平行，可以确定一个平面”，作与已知平面相交的平面。

例：

图中的线段BA与已知平面PAD相交于点A，虽然这条线段既没有穿过已知直线BE，又没有穿过已知平面PAD，但过线段BE的另一个端点E可以很容易地作出一条直线EF平行于AB，这样这两条平行线就确定了一个平面，两个平面的交线是AF，然后证明BE平行AF就可以了。

方法四：

要证明已知直线平行于已知平面，只需过已知直线作一个平行于已知平面的平面就可以了。

例：

要证BE//平面PAD，只需过BE做一个平行于平面PAD的平面即可。首先BE肯定平行平面PAD，所以只需要再作一条与BE相交且与平面PAD平行的直线，这条直线与直线BE所确定的平面肯定平行于平面PAD。

总结：证明线面平行，首先找出或者作出一条既与已知直线相交又与已知平面相交的线段，并且这条线段要么穿过已知直线，要么穿过已知平面，否则就通过作平行线来确定相交平面，如果这三种方法都不行，就要选择第四种方法：在图中找出或者作出一条平行于已知平面且与已知直线相交的直线，利用面面平行的性质来证明线面平行。

针对性练习

第1题

直接证明直线B1E平行平面DGC1不太方便，所以考虑平移B1E至AF的位置，然后再证明就容易多了。

第2题

线段AP与直线EF和平面PDC都相交，并且穿过了直线EF，所以选择直线AP作为EF的相交直线来确定相交平面。

第3题

本题使用面面平行的性质证明比较合适。

第4题

线段B1C1与直线MN和平面ACC1A1都相交，并且穿过了MN，所以选择直线B1C1作为相交直线来确定相交平面。

第5题

因为GH是过PA的平面PAHG与平面BMD的交线，所以要证PA//GH，只需证PA//平面BMD。

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