【原】中考冲刺：三角形、四边形周长最值问题

动态几何 2022-04-24

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方法回顾：

问题引入：

问题1.如图，直线 $y=x+1$ 与抛物线 $y=x^{2}-4x+5$ 交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时， $S_{△PAB}$ =__________.

解：如图，由题意得

\left\{\begin{matrix}y=x+1\qquad \; \; \\y=x^{2} -4x+5 \end{matrix}\right.

解得，

\left\{\begin{matrix}x=1 \\y=2 \end{matrix}\right.

或

\left\{\begin{matrix}x=4 \\y=5 \end{matrix}\right.

∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5）,

∴ $AB=\sqrt{\left ( 5-2 \right ) ^{2}+\left ( 4-1 \right ) ^{2} }$ .

作点A关于y轴的对称点A′，连接A'B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5）,设直线A'B的函数解析式为y＝kx+b,

\left\{\begin{matrix}-k+b=2 \\4k+b=5 \end{matrix}\right.

,得

\left\{\begin{matrix}k=\frac{3}{5} \\b=\frac{13}{5} \end{matrix}\right.

∴直线A'B的函数解析式为 $y=\frac{3}{5} x+\frac{13}{5}$ .

当

x=0

时，

y=\frac{13}{5}

即点P的坐标为 $\left ( 0,\frac{13}{5} \right )$ .

将x＝0代入直线y＝x+1中，得y＝1，

∵直线y＝x+1与y轴的夹角是45°，

∴点P到直线AB的距离是： $\left ( \frac{13}{5}-1 \right ) \times sin45°=\frac{8}{5} \times \frac{\sqrt{2} }{2} =\frac{4\sqrt{2} }{5}$ .

∴△PAB的面积是： $\frac{3\sqrt{2} \times \frac{4\sqrt{2} }{5} }{2} =\frac{12}{5}$ .

问题2.如图，抛物线 $y=ax^{2} +bx+c$ 的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

解：(1)∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）

∴可设交点式y＝a(x+1)(x﹣3)

把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3

∴a＝﹣1

∴

y=-\left ( x-1 \right ) \left ( x-3 \right ) =-x^{2} +2x+3

∴抛物线解析式为 $y =-x^{2} +2x+3$ .

(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小．

如图，连接PB、BC

∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称

∴PA＝PB

∴

C_{\bigtriangleup PAC}

＝AC+PC+PA＝AC+PC+PB

∵当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小

∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）.

∴ $AC=\sqrt{1^{2} +3^{2} } =\sqrt{10}$ ，

$BC=\sqrt{3^{2} +3^{2} } =3\sqrt{2}$ .

∴ $C_{\bigtriangleup PAC} =AC+CB=\sqrt{10 } +3\sqrt{2}$ .

问题3.如图，抛物线

y=x^{2} +bx+c

与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为_______.

解：(1)∵OA＝2，OC＝6

∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）

∵抛物线 $y=x^{2} +bx+c$ 过点A、C.

∴ $\left\{\begin{matrix}4-2b+c=0 \\0+0+c=-6 \end{matrix}\right.$ 解得

∴抛物线解析式为 $y=x^{2} -x-6$ .

(2)∵当y＝0时， $x^{2} -x-6=0$ ,解得： $x_{1} =-2,x_{2} =3.$

∴B（3，0），抛物线对称轴为直线 $x=\frac{-2+3}{2} =\frac{1}{2}$ .

∵点D在直线 $x=\frac{1}{2}$ ,点A、B关于直线 $x=\frac{1}{2}$ 对称.

∴ $x_{D} =\frac{1}{2}$ ,AD＝BD.

∴当点B、D、C在同一直线上时， $C_{\bigtriangleup ACD} =AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC$ 最小.

设直线BC解析式为y＝kx﹣6

∴3k﹣6＝0，解得：k＝2

∴直线BC：y＝2x﹣6

∴ $y_{D} =2\times \frac{1}{2} -6=-5$ .

∴ $D\left ( \frac{1}{2} ,-5 \right )$ .

问题4.如图，已知二次函数 $y=ax^{2} -\left ( 2a- \frac{3}{4} \right ) x+3$ 的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．

(1)求a的值和直线AB的解析式；

(2)过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为 $S_{1} ,S_{2}$ ，若 $\ S_{1} =4S_{2}$ ，求m的值；

(3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．

解：(1)把点A（4，0）代入，得 $a=-\frac{3}{4}$ .

∴函数解析式为：

设直线AB解析式为y=kx+b，把A（4，0），B（0，3）代入

\left\{\begin{matrix}0=4k+b \\b=3\;\;\;\;\;\;\;\; \end{matrix}\right.

解得

\left\{\begin{matrix}k=-\frac{3}{4} \\b=3\;\;\;\; \end{matrix}\right.

∴直线AB解析式为： $y=-\frac{3}{4} x+3$ .

(2)由已知，点D坐标为 $\left ( m,-\frac{3}{4}m^{2} +\frac{9}{4} +3 \right )$ ，点E坐标为 $\left ( m,-\frac{3}{4}m +3 \right )$ .

∴AC=4﹣m.

$=-\frac{3}{4} m^{2} +3m$ .

∵BC∥y轴

∴

\frac{AC}{EC} =\frac{AO}{OB} =\frac{4}{3}

∴

AE=\frac{5}{4} \left ( 4-m\right )

∵∠DFA=∠DCA=90°，∠FBD=∠CEA,

∴△DEF∽△AEC.

∵

S_{1} =4S_{2}

,∴AE=2DE.

∴

\frac{5}{4} \left ( 4-m \right ) =2\left ( -\frac{3}{4}m^{2} +3m \right )

解得：

m_{1} =\frac{5}{6} ,m_{2} =4(舍去)

(3)如图，过点G做GM⊥DC于点M.

∴点G坐标为 $\left ( \frac{11}{3} ,\frac{1}{4} \right )$ 或 $\left ( \frac{1}{3} ,\frac{11}{4} \right )$ .

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编辑 | 张旭