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．13．一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和大于5的概率是 ．14．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝2AC，以点A为圆心的弧与BC相切于点F，分别交AB、AC于点D、E，若CF＝1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）15．如图，在正方形ABCD中，AE＝DE＝3，连接CE，点F是CE上一点，且EF＝2CF，连接BF，点M是BF的中点，过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，则FN的长为 ．16．（8分）下面是小林同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．＝第一步＝第二步＝第三步＝第四步＝第五步＝第六步任务一：填空①从上面的化简步骤，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ．17．（9分）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的大学生参与到志愿服务中，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有300名学生进入综合素质展示环节，为了了解这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）．b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为82分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为： （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选．18．（9分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向．求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）19．（9分）某大型商场为了提高销售人员的积极性，对原有的薪酬计算方式进行了修改，设销售人员一个月的销售量为x（件），销售人员的月收入为y（元），原有的薪酬计算方式y1元采用的是底薪+提成的方式，且y1＝k1x+b，已知每销售一件商品另外获得15元的提成修改后的薪酬计算方式为y2（元），且y2＝k2x+b，根据图象回答下列问题：（2）求两个函数图象的交点F的坐标，并说明交点F的实际意义；（3）根据函数图象请判断哪种薪酬计算方式更适合销售人员．阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Birnmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Birnmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．21．（10分）二次函数y＝mx2﹣2mx﹣m+3．（2）过动点C（0，n）作直线a⊥y轴，当直线a与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；（3）若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，求整数m的值．如图1，点C是半圆AmB上一动点，线段AB＝6，CD平分∠ACB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连接BD．当△BCD为等腰三角形时，求线段AC的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是他尝试结合学习函数的经验研究此问题．将线段AC的长度作为自变量x，BC，BD和CD的长度都是x的函数，分别记为yBC，yBD和yCD．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点C在半圆AmB上的不同位置，画出相应的图形，测量线段AC，BC，BD的长度，得到下表的几组对应值：②操作中发现，“无需测量线段CD的长度即可得到yCD关于x的函数解析式”．请直接写出yCD关于x的函数解析式．（2）小亮已在平面直角坐标系xOy中画出了函数yBD的图象，如图2所示．①请在同一个坐标系中画出函数yBC和yCD的图象；②结合图象直接写出当△BCD为等腰三角形时，线段AC长度的近似值（结果保留一位小数）．23．（11分）在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为边BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF．（1）如图1，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 ；①如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE、CE、AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；②正方形CDEF绕点C旋转的过程中，当以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出线段AF的长．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1．【解析】∵×＝1，∴的倒数是：＝2.5．2．【解析】将11000用科学记数法表示为1.1×104．3．【解析】该几何体的左视图从左到右看到的正方体分别是2，1，2，．5．【解析】A．为了了解潮白河的水质，适合采用抽样调查，故A选项不合题意；B．为了了解顺义区中学生睡眠时间，适合采用抽样调查，故B选项不合题意；C．为了了解一批灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查，故C选项符合题意；D．为了了解某班同学的数学成绩，适合采取全面调查，故D选项不合题意．∴反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵点A（x1，﹣4），B（x2，2），C（x3，3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，∴点A（x1，﹣4）在第四象限，B（x2，2），C（x3，3）在第二象限，8．【解析】设甲经过x日与乙相逢，则乙已出发（x+2）日，依题意，得：+＝1．∵矩形ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，3），C点坐标为（2，0），在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，，在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝1.5，当D、P、E三点共线时，PE+PB的值最小，最小值为DE，∵Q（，），∴PC＝，DE＝，∵四边形ABCD为菱形，DB为对角线，∠D＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝60°，AD＝AB，∴tan∠EDB＝＝，∴EB＝×2＝2，∴，∴比大的整数中，最小的是3．12．【解析】，共有12种情况，两次摸出的卡片的数字之和等于5的有4种，∴两次摸出的卡片的数字之和等于5的概率为＝，故答案为：．∴阴影部分的面积S＝S△AFB﹣S扇形DAF＝×3×﹣＝，故答案为：．∴CE＝，∴CF＝，∴，∴，∴NH＝，∴NF＝，故答案为．16．解：任务一：①从上面的化简步骤，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，故答案为：五，括号前是“一”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：＝＝＝＝＝＝．17．解：（1）甲学校的中位数是（81+81.5）÷2＝81.5，故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A，（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；甲校的优秀率是（8+12）÷50×100%＝40%，与乙校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；故答案为：乙；与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；甲校的优秀率是（8+12）÷50×100%＝40%，与乙校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；（3）×100%＝40%，18．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，∴BE＝AE·tan22°≈5×＝2（海里），∴AC＝≈4×≈4.3（海里）．19．解：（1）∵y1＝k1x+b的图象过点（0，3000），∵y2＝k2x+b的图象过点（100，3000），由图象可得b＝0，∴y1中b的实际意义为底薪为3000元，y2中b的实际意义为底薪为0元；（2），解得．∴F点的实际意义是当销售200件商品时，两种薪酬计算方式所得薪酬相等为6000元；（3）结合函数图象可知，当0＜x＜200时，原有的薪酬计算方式更适合销售人员，当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样．当x＞200时，修改后的薪酬计算方式更适合销售人员．20．（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∵，（2）解：如图3，截取BF＝CD，连接AF，AD，CD，∵，∴BE＝＝，则△BDC的周长是2+2．故答案为：2+2．21．（1）y＝mx2﹣2mx﹣m+3＝m（x﹣1）2﹣2m+3，（3）∵抛物线y＝m（x﹣1）2﹣2m+3的顶点坐标为（1，﹣2m+3），由题意可知，∴BC＝＝≈4.0．∴CD＝AC，∴．②由图象可得：当AC＝2.3或3.1或3.5时，△BCD为等腰三角形．23．解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠FEC＝∠FAC＝∠B，∠FCE＝∠FCA＝∠ACB，AB＝BE，∴，∵＝sinB＝sin45°＝，∴＝，∴BE＝AF．故答案为BE＝AF．∴sin∠ABC＝，在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，在Rt△CEF中，∠CFE＝90°sin∠FEC＝，∴，∴，∴BE＝AF，（3）或．∴EF＝CF＝DE＝AD＝；∴AF＝CF＝．如图3，四边形ABCE是平行四边形，则△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝BC＝3，综上所述，线段AF的长为或．
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