例析：压轴试题中的定点、定线、定值与含参问题

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在数学发展的相当长的时期内，算术是几何的附庸，笛卡尔和费马将数与图形有机的结合在一起，开创了图形的数量化研究，实现了根本性的转变，'数无形时不直观，形无数时难入微'道出了数形结合的辩证关系。

在代数与几何综合压轴的解题教学中，应该引导学生感知这种图形的数量化研究的思想和魅力，应该将代数与图形有机结合，能用'代数表示'研究图形的位置和图形变换运动过程，养成具有良好的感知图形的数量化研究的思想和魅力。

其中的'含参'运算则是其中的一个具体且最重要的表现形式，是解决压轴题的重中之重，熟练且富有'技巧性'地掌握含参运算，是解决中考压轴题的函数与几何综合相关试题的关键，对后续的数学学习将产生深远影响，同时也是初高中教与学衔接的一个重要组成部分．

    

下面以近几年的中高考试题进行拓展延伸，体会初高中衔接与含参运算的重要作用，同时强调数形结合思想在解题中的重要作用。

阅读建议：体会变式中的蕴含的定点、定值、定线相关内容与近几年福建省中考倒一压轴中的定点、定线的区别与联系。

【例1】 已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax²（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）

（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标．

（3）延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO．

【图文分析】 

(1)(2)略去，答案分别为：(1)a=√3．(2)B（1，1/2）．

重点分析第(3)问。

（3）如下图示，（两种情况只是图形位置不同，解题思路和方法完全一样）

另：OC的长的求法，也可由OC∥AE得△BOC∽△BEA，再根据“相似三角形对应高的比等于相似比”得OC：AE＝BN：BM.……

综上，DE＝OC.

法三：

所以AD/DE＝AC/BC，进一步，得AD/AE＝AC/AB，又∠BAE＝∠BAE，因此△ACD∽△AEB，……，得CD∥BE，又OC∥DE，所以四边形DEOC是平行四边形，因此DE＝OC.

法三：设A（x₁，a），B（x₂，a），

则直线OB的解析式为y＝ax₂x.

又因AE∥y轴，

则x_E＝x_A＝x₁，y_E＝ax₁x₂．

直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax²(a＞0)相交于A，B两点，x₁，x₂是方程ax²－kx－b＝0的两根，则x₁·x₂＝．y_E＝ax₁x₂＝……＝－b．所以DE＝b．

另一方面，在y＝kx＋b中，

由x_C＝0，得y_C＝b．即OC＝b．

综上，DE＝CO．

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【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L₁：y=ax²+b₁x+c₁（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L₂：y=ax²+b₂x+c₂（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．

（1）

（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；

（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．

图文解析：

（2）A(-4，0)，B(4，0)，C(m，0).

求得过A、C两点（或过B、C两点）且a=－1的抛物线解析式,分别为：L₁为y=﹣x²+（m﹣4）x+4m，L₂为y=﹣x²+（m+4）x﹣4m.

通过配方，求得:

　当AF⊥BF时，∠1+∠3＝90°，

又∠2+∠3＝90°，得到∠1＝∠2. 

分别在Rt△AGD和Rt△BEH中，

由tan∠1=DG/AG=BH/EH=tan∠2．

综上可得：假设AF⊥BF时，必满足a≤﹣1/3，反之，若不满足这个关系式，则直线AF与BF就不可能互相垂直.

等价于：

所以a=﹣1/3或﹣1/4等（不唯一）.

【例3】——2019年高考原题

已知抛物线C：y²=3x的焦点为F，斜率为3/2的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|.

【改编为初中试题】

已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P.平行于x轴的直线n交y轴的负半轴于点M，点F与点M关于x轴对称，且点A到点F的距离与点A到直线n的距离相等（此段文字实际上是解释焦点的定义）.

（1）求点F的坐标；

（2）若AF＋BF＝4，求直线l的解析式；

（3）若AP＝3BP，求AB的长.

【图文解析】

（1）符合题意的图如下：

设F（0，t），A（3x，3x²），

则M（0，-t），AH＝3x²+t，

得AH²＝9x⁴+6tx²+t².

由勾股定理，得

AF²＝AD²＋DF²＝(3x)²＋(3x²-t)²

=9x⁴+(9-6t)x²+t².

由题意，得AH²＝AF²，

得9x⁴+6tx²+t²=9x⁴+(9-6t)x²+t².

得6t＝9－6t.解得t=3/4.

所以点F的坐标为（0，3/4）.

（2）如下图示.由（1）同理，知BF＝BG.

（从答案可以看出，上述草图点P应画在点F的下方处，但不影响解题，这里就不做更改）

（3）当AP＝3BP时，如下图示：

 

【拓展与延伸一】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P.连接OA与OB．

（1）若AP＝tBP（t为大于0的常数），用含t的代数式表示AB的长；

（2）作点P关于x轴的对称点Q．

①连接QA与QB，求证：QP平分∠AQB；

②过Q点作x轴的平行线n，再分别过点A、B作直线n的垂线段AC和BD，设△ACQ、△AQB和△BQD的面积分别为S₁、S₂和S₂，求证：S₂²＝4S₁×S₂．

【图文解析】

（1）当AP＝t×BP时，如下图示：

 

（2）①如下图示，

其实就是2018年福建省中考倒一的简单变式．

解题思路：只需证tan∠AQF＝tan∠BQE即可．在（1）的结论中不难得到点A与点B的坐标．

②如下图示，

其实就是2018-2019学年福州市九上期末质检——倒一压轴（可打开阅读）的简单变式．

 

【拓展与延伸二】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P.连接OA与OB．

（1）当b=3时，求证：△AOB是直角三角形；

（2）在（1）的条件下，若绕点P旋转，是否仍然有△AOB是直角三角形；

（3）若同时改变抛物线C与直线l的解析式为：y=ax²和y=kx+m，是否仍然有：△AOB为直角三角形．如果没有，则需满足什么条件即可确保△AOB为直角三角形？

【图文解析】

（1）联立直线l和抛物线C的解析式，直接求出A、B两点的坐标，再利用勾股定理或相似或三角函数进行计算即可得到证明：

如下图示：

最快的思路：利用tan∠BOH＝tan∠GAO……

（2）仍然成立．如下图：

思路仍然同上述，这里突显含参计算的重要性了．

（3）解题思路仍然一样．结论：需满足m=1/a，即可确保△AOB为直角三角形．

 

【拓展与延伸三】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=-2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P.过点A、B作AE⊥y轴于点E，作BD⊥y轴于点D．

（1）求证，不论b为何值，AE×BD/OP的值为定值，并求其定值；

（2）在（1）的条件下，若绕点P旋转，是否有上述结论？并给予证明．

（3）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，则AE×BD/OP的值是否仍为定值？若是，求其定值，若不是说明理由．

【图文提示】

（1）如下图示．

解题思路：参考改编一或二的解法，求得点A、B的坐标，再进行含参计算即可．定值为3．

（2）结论仍然成立，如下图示，思路与（1）相同．

（3）AE×BD/OP的值仍为定值。定值为1/a．

 

【拓展与延伸四】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=-2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P. M是抛物线C上的一个动点，过点M作MN∥y轴交直线AB于点N，再分别过点A、B作AE⊥y轴于点E，作BD⊥y轴于点D．

（1）求证，不论b为何值，AE×BD/MN的值为定值，并求其定值；

（2）在（1）的条件下，若绕点P旋转，上述结论是否成立？并给予证明；

（3）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，则AE×BD/MN的值是否仍为定值？若是，求其定值，若不是说明理由．

【图文提示】

（1）如下图示．

解题思路：参考改编一或改编二的解法，求得点A、B的坐标，再进行含参计算即可．定值为3．

（2）结论仍然成立，如下图示，思路与（1）相同．

（3）AE×BD/MN的值仍为定值．定值为1/a．如下图示．

【拓展与延伸五】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=-2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P，连接OA.过点A作AE⊥y轴于点E，过点E作CD∥OA交抛物线C于点G、H．

（1）求证，不论b为何值，EH:OA＝OA:EG=定值，并求其定值；

（2）在（1）的条件下，若绕点P旋转，则上述结论是否仍然成立？并给予证明．

（3）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，则上述结论是否仍然成立？并给予证明．

【提示】（1）类似上述拓展的解题思路，先求得点A、B、E、G、H点的坐标，再进行含参计算即可．定值为黄金分割值（√5-1）/2．（2）与（3）均成立，证法类似．

 

【拓展与延伸六】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=kx+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．

（1）当k=0时，求OP/（AB²）的值；

（2）点M是抛物线上的动点，过点M作MG⊥直线l于点G，当k=0时，求MG/（GA×GB）的值；

（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k=2时，求证：不论b为何实数，MG/（GA×GB）的值为定值，并求定值；

（4）若将（2）的抛物线改为'y=ax²'，其他条件不变，则MG/（GA×GB）的值还为定值吗？若是，请求出定值;若不是，说明理由．

【图文解析】

（1）如下图示，当k＝0时，直线l为y=b．

法一：由x²/3=b，得x=±√（3b），进一步，得B（√（3b），b），得AB＝2√(3b)，OP=b，再通过计算，可得OP/（AB²）＝…＝1/12．

法二：由抛物线的对称性，得OP/（AB²）＝OP/（4PB²）＝1/4×OP/PB²＝1/4×y_B/x_B²．又由于点B在抛物线y= x²/3上，所以y_B= x_B²/3，得y_B/x_B²＝1/3．所以OP/（AB²）＝1/4×1/3＝1/12．

（2）如下图示．当k=0时，直线l为y=b．

设M（3m，3m²），A(-3t，3t²)，则A(3t，3t²)，P（0，3t²），G(3m，3t²)．

所以MG＝3（t²-m²），GA=3(m+t)，GB=3(t-m)，得GA×GB＝9（t²-m²），所以MG/（GA×GB）＝1/3．

（3）如下图示．

类似（2）的解题思路，需要耐心进行含参计算．定值为1/15．

（4）如下图示．类似（2）的解题思路，需要耐心进行含参计算．定值为：|a|/(1+k²)．

 

【拓展与延伸七】已知抛物线C：y=x²/3与直线l: y=-2x/3+b相交于点A，B，直线l与y轴交于点P．点Q在线段AB上．

（1）当点Q是线段AB的中点时．求证：随着b的值的变化，点Q总是在一定直线上运动，并求这条直线的解析式．

（2）若将抛物线C与直线l的解析式分别换成y=ax²和y=kx+b，请找出类似（1）的结

（3）若直线y=kx+1（与y轴交于点P，与抛物线交于点A、B）绕点P旋转，则线段AB的中点Q的运动路径所表示的解析式：

【图文提示】

（1）如下图示，通过计算，可得x_Q=-1，所以点Q总是在直线x=-1运动；

（2）如下图示，通过计算，可得x_Q=k/(2a)，所以点Q总是在直线x= k/(2a)运动；

（3）如下图示，类似于（2）的思路，点Q总是在抛物线y=2x²/3+1的抛物线上运动．

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