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一、精心选一选，相信你一定能选对！（每小题3分，共30分）

1．的相反数是（　　）

A．2022                 B．﹣2022       

C．               D．

2．中国抗疫取得了巨大成就，堪称奇迹，为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持，让中国人民倍感自豪．2020年1月I2日，世界卫生组织正式将2019新型冠状病毒命名为2019一nCoV，该病毒的直径在0.00000008米～0.00000012米，将0.00000012用科学记数法表示为（　　）

A．12×10^﹣7 m             B．1.2×10^﹣7 m      

C．1.2×10^﹣8 m            D．0.12×10^﹣6 m

3．如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是（　　）

A．       B．       

C．       D．

4．下列运算正确的是（　　）

A．                 B．      

C．（m+3）²＝m²+9       

D．（﹣2ab²）²＝4a²b⁴

5．如图是婴儿车的平面示意图，其中AB∥CD，∠1＝120°，∠3＝40°，那么∠2的度数为（　　）

A．80°       B．90°       C．100°       D．102°

6．若双曲线y＝在第二、四象限，那么关于x的方程ax²+2x+1＝0的根的情况为（　　）

A．有两个不相等的实数根       B．有两个相等的实数根      

C．只有一个实数根       D．无实根

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连接CD，BE，下列结论中一定正确的是（　　）

A．AE＝2CE                  B．△BCE≌△BDE       

C．∠BEC＝∠BDC       D．BE平分∠CBD

8．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）

A．+1       B．﹣1     C．   D．

9．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，以B为圆心、BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AB＝6，则阴影部分的面积为（　　）

A．18﹣6π       B．54﹣18π       

C．36﹣6π       D．27﹣9π

10．如图①，在▱ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的a等于（　　）

A．3       B．4       C．14       D．18

二、细心填一填，相信你填得又快又准！（每小题3分，共15分）

11．式子在实数范围内有意义，则x的范围是 　   　．

12．不等式组的所有非负整数解的和为 　   　．

13．从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　   　．

14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别为BC和AB的中点，连接AE和CF交于点G，点H和M分别为CF和AE的中点，则MH的长为 　   　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B′，连接B′C，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为 　   　．

三、用心做一做，展示你的解题能力！（本大题75分，解答时要写出文字说明、演算步骤或推证过程）

16．（10分）（1）计算：；

（2）化简：（﹣1）÷．

17．（9分）郑州某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，根据往年的销售经验，当天酸奶的需求量与最高气温（单位：℃）有关，为了确定今年六月份的酸奶订购计划，对前两年六月份的最高气温及该酸奶需求量等数据进行了收集、整理描述和分析，下面给出了部分信息．

a．当天酸奶的需求量与最高气温关系如下：

最高气温t（单位：℃）	20≤t＜25	25≤t＜30	30≤t＜40
酸奶需求量（单位：瓶/天）	100	200	300

b．2019年6月最高气温数据的频数分布表如下（不完整）；

2019年6月最高气温数据的频数分布表

分组	频数	频率
20≤t＜25	m	0.1
25≤t＜30	6
30≤t＜35	15	0.5
35≤t≤40	n
合计	30	1.0

c．2020年6月最高气温数据的频数分布直方图如下：（数据分成4组：20≤t＜25，25≤t＜30，30≤t＜35，35≤t≤40）

d．2020年6月最高气温在30≤t＜35这一组的数据是：

30  30  31  32  32  32  32  33  33  33  33  34  34

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表格中的m＝　   　，n＝　   　；

（2）2020年6月最高气温数据的中位数为 　   　；

（3）已知该酸奶进货成本每瓶2.5元，售价每瓶4元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．

①2020年6月这种酸奶每天的进货量为200瓶，则此月这种酸奶的利润为 　   　元；

②根据以上信息，预估2021年6月这种酸奶的进货量不合理的为 　   　．

A.150瓶/天

B.220瓶/天

C.300瓶/天

18．（9分）茗阳阁位于河南省信阳市河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是一栋由多种中国古建筑元素，由雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多种形式的中国古建筑元素汇聚而成，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，同时茗阳阁旁的风景也是优美至极．某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE上的茗阳阁CD的高度，在山脚下的广场上A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高37.69米．求茗阳阁的高度CD．（结果精确到1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

19．（9分）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．

（1）分别求出a和b的值；

（2）结合图象直接写出mx+n＜的解集；

（3）在x轴上取点P，使PA﹣PB取得最大值时，求出点P的坐标．

20．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AB＝12，求线段EC的长．

21．（9分）由于新冠肺炎疫情暴发，某公司根据市场需求代理A、B两种型号的空气净化器，每台A型净化器比每台B型净化器进价多200元，用5万元购进A型净化器与用4.5万元购进B型净化器的数量相等．

（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少元？

（2）公司计划购进A、B两种型号的净化器共50台进行试销，其中A型净化器为m台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净化器每台售价2500元，B型净化器每台售价2180元．公司决定从销售A型净化器的利润中按每台捐献75元作为公司帮扶疫区贫困居民，设公司售完50台净化器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W的最大值．

22．（10分）已知抛物线y＝ax²﹣4ax﹣5a（a＞0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）求抛物线的对称轴和点A、B的坐标；

（2）当3≤x≤4时，y有最小值为﹣4，求抛物线的解析式；

（3）已知点E（﹣1，1）、F（6，4a+1），且抛物线与线段EF只有一个公共点，请求出a的取值范围．

23．（10分）尺规作图只允许使用直尺和圆规来解决平面几何作图题，下面我们用尺规作图来解决一些问题．

【回顾复习】下列作图语句表述正确的是 　   　．

①延长射线OA；

②已知线段AB，作MN＝AB；

③作直线AB等于直线CD；

④以某定点为圆心，以固定的长为半径画圆弧．

【课本呈现】

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：

（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．

（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．

（3）画射线OC，射线OC即为所求．

【小试牛刀】小明同学发现，在OA，OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON，并将两个完全相同的直角三角尺按如图1所示的样子摆放，也可以得到OP为∠AOB的平分线，你认为这种做法正确吗？请说明理由．

【问题解决】如图2，△ABC是边长为2的等边三角形，直线l经过顶点A，且与边BC平行，仅用尺规在直线l上找出点P，使得∠APC＝∠ACB，并直接写出BP的长度（保留作图痕迹，不写作法）．

 

答案与解析

一、精心选一选，相信你一定能选对！（每小题3分，共30分）

1．【解析】的相反数是．

故选：C．

2．【解析】0.00000012＝1.2×10^﹣7．

故选：B．

3．【解析】所给图形的俯视图是D选项所给的图形．

故选：D．

4．【解析】A、原式＝4，∴不符合题意；

B、原式＝，∴不符合题意；

C、原式＝m²+6m+9，∴不符合题意；

D、原式＝4a²b⁴，∴符合题意；

故选：D．

5．【解析】∵AB∥CD，

∴∠A＝∠3＝40°，

∵∠1＝120°，

∴∠2＝∠1﹣∠A＝80°，

故选：A．

6．【解析】∵双曲线y＝在第二、四象限，

∴a＜0，

∵关于x的方程ax²+2x+1＝0，

∴Δ＝2²﹣4a＞0，

∴关于x的方程ax²+2x+1＝0有两个不相等的实数根．

故选：A．

7．【解析】由作法得DE垂直平分AB，

∴AE＝BE，AD＝BD，

∴D点为Rt△ABC的斜边AB上的中线，

∴DA＝DC，

∴∠A＝∠ACD，

∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，

∵EA＝EB，

∴∠A＝∠ABE，

∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝2∠A，

∴∠BEC＝∠BDC，所以C选项的结论正确；

只有当∠A＝30°时，AE＝BE＝2CE，△BCE≌△BDE，BE平分∠CBD，所以A、B、D选项不一定成立．

故选：C．

8．【解析】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，

设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，

∴tan22.5°＝＝＝﹣1，

故选：B．

9．【解析】∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，

∴OB＝OC，

∵BC＝OB，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠CBO＝60°，BC＝BO，

即AC＝2BC，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²+BC²＝AC²，

（6）²+BC²＝（2BC）²，

解得：BC＝6，

∴阴影部分的面积＝S_△BCD﹣S_扇形BOC＝﹣＝18﹣6π，

故选：A．

10．【解析】由图②知，BC＝6，CD＝14﹣6＝8，BD＝18﹣14＝4，

过点B作BH⊥DC于点H，

设CH＝x，则DH＝8﹣x，

则BH²＝BC²﹣CH²＝BD²﹣DH²，即：BH²＝4²﹣（8﹣x）²＝6²﹣x²，

解得：BH＝，

则a＝y＝S_△ABP＝DC×HB＝×8×＝3，

故选：A．

二、细心填一填，相信你填得又快又准！（每小题3分，共15分）

11．【解析】∵式子在实数范围内有意义，

∴，解得x≥1且x≠2．

故答案为：x≥1且x≠2．

12．【解析】，

解不等式①得：x＞﹣2.5，

解不等式②得：x≤2，

∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤2，

∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，

∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2＝3，

故答案为：3．

13．【解析】画树状图如下

共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（﹣2，﹣1）和（﹣1，﹣2）这2种结果，

∴该点在第三象限的概率等于＝，

故答案为：．

14．【解析】连接AC、EF，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∴AC＝＝＝10，

∵点E，F分别为BC和AB的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF＝AC＝5，EF∥AC，

∴△EFG∽△ACG，

∴＝＝＝，

∵点H和M分别为CF和AE的中点，

∴EM＝AM，CH＝FH，

∴＝＝＝，

∴EM＝3GM，

∴EG＝2GM，

∴＝，

同理：＝，

∴＝＝，

又∵∠MGH＝∠EGF，

∴△MGH∽△EGF，

∴＝＝，

∴MH＝EF＝，

故答案为：．

15．【解析】当△B'MC为直角三角形时，

①当∠B'CM＝90°时，

∵N为AB中点，AB＝10，

∴，

∵NB'＜AD，即5＜12，

点B的对应点B'不能落在CD所在直线上，

∴∠BCM＜90°，故该情况不存在；

②如图，

当∠CMB'＝90°时，∠BMB'＝90°，

由折叠的性质得：∠BMN＝∠B′MN＝45°，

∵∠B＝90°，

∴∠BNM＝∠B'MN＝45°，

得；

③如图，

当∠CB'M＝90°时，

∴∠NB'M＝∠CB'M＝90°，故N，B'，C三点共线，

设BM＝B'M＝x，则CM＝12﹣x，

在Rt△NBC中，

，

则B'C＝NC﹣B'N＝8，

在Rt△B'MC中，

由勾股定理可得B'M²+B'C²＝MC²，

即x²+8²＝（12﹣x）²，

解得，即．

综上所述，满足条件的BM的值为5或．

故答案为：5或．

三、用心做一做，展示你的解题能力！（本大题75分，解答时要写出文字说明、演算步骤或推证过程）

16．解：（1）

＝3+3﹣2×+﹣1

＝3+3﹣+﹣1

＝5；

（2）（﹣1）÷

＝

＝．

17．解：（1）3，6．（2）32． （3）①8600． ②A．

18．解：设CD＝x米．

在Rt△BCE中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝45°，

∴EC＝BE＝（x+37.69）米，

在Rt△ADE中，∵tan20°＝，

∴0.36＝，解得x≈47．

答：茗阳阁的高度CD为47米．

19．解：（1）∵点A（a，4），

∴AC＝4，

∵S_△AOC＝4，即，

∴OC＝2，

∵点A（a，4）在第二象限，

∴a＝﹣2  A（﹣2，4），

将A（﹣2，4）代入y＝得：k＝﹣8，

∴反比例函数的关系式为：y＝，

把B（8，b）代入得：b＝﹣1，

∴B（8，﹣1）

因此a＝﹣2，b＝﹣1；

（2）由图象可以看出mx+n＜的解集为：﹣2＜x＜0或x＞8；

（3）如图，作点B关于x轴的对称点B′，直线AB′与x轴交于P，

此时PA﹣PB最大（PA﹣PB＝PA﹣PB′≤AB′，共线时差最大）

∵B（8，﹣1）

∴B′（8，1）

设直线AP的关系式为y＝mx+n，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得：

，解得：m＝，n＝，

∴直线AP的关系式为y＝x+，

当y＝0时，即x+＝0，解得x＝，

∴P（，0）．

20．证明：（1）连接OC，

∵CE与⊙O相切于点C，

∴∠OCE＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠AOC＝90°，

∵∠AOC+∠OCE＝180°，

∴AD∥EC．

（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，

∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，

∴∠ACB＝60°，

∴∠D＝∠ACB＝60°，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∴sin∠ADB＝，

∴AD＝＝8，

∴OA＝OC＝4，

∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，

∴四边形OAFC是矩形，

又∵OA＝OC，

∴四边形OAFC是正方形，

∴CF＝AF＝4，

∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，

∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∵tan∠EAF＝，

∴EF＝AF＝12，

∴CE＝CF+EF＝12+4．

21．解：（1）设每台B型净化器的进价是x元，则每台A型净化器的进价是（x+200）元，

依题意，得：＝，解得：x＝1800，

经检验，x＝1800是原方程的解，且符合题意，

∴x+200＝2000．

答：每台A型净化器的进价是2000元，每台B型净化器的进价是1800元．

（2）∵购进A型净化器m台，

∴购进B型净化器（50﹣m）台，

又∵购买资金不超过9.8万元，

∴2000m+1800（50﹣m）≤98000，

∴m≤40．

依题意：获得的利润W＝（2500﹣2000﹣75）m+（2180﹣1800）（50﹣m）＝45m+19000，

∵45＞0，

∴W随m的增大而增大，

∴当m＝40时，W取得最大值，最大值＝45×40+19000＝20800．

答：W的最大值为20800元．

22．解：（1）∵y＝ax²﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）²﹣9a，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2，

令y＝0时，ax²﹣4ax﹣5a＝0，

解得：x＝5或x＝﹣1，

∴点A（﹣1，0），B（5，0）．

（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，

∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，

∴当3≤x≤4时，y的最小值为9a﹣12a﹣5a＝﹣4，

∴a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x²﹣2x﹣．

（3）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，对称轴为直线x＝2，

∴点E不在抛物线上，且点E在对称轴左侧，

∵抛物线与线段EF只有一个公共点，

∴当x＝6时，y＝36a﹣24a﹣5a≥4a+1，

∴a≥，

∴当抛物线与线段EF只有一个公共点时，a的取值范围为a≥．

23．解：【回顾复习】下列作图语句表述正确的是②④．

故答案为：②④；

【小试牛刀】在Rt△ONP和Rt△OMP中，

，

∴Rt△ONP≌Rt△OMP（HL），

∴∠PON＝∠POM，

即OP平分∠AOB．

【问题解决】BP＝2或2．