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这道中考数学压轴题，需要最清晰的思路。只要思路稍不清楚，就根本解不出来的。这是一道与圆相关的综合题。 如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，C是⊙O上的点，AC//OP, M是直径AB上的动点，A与直线CM上的点连线距离的最小值为d，B与直线CM上的点连线距离的最小值为f. (1)求证: PC是⊙O的切线； (2)设OP=3AC/2,求∠CPO的正弦值； (3)设AC=9，AB=15，求d+f的取值范围.  【注意：所谓点到直线上的点连线距离的最小值，其实就是点到直线的垂线段距离，也就是点到直线的距离】 (1)证明：联结OC，则OC=OB=OA，【证明切线的一般套路就是连接圆心和“切点”，证明直么(或半径)垂直于“切线”，或它们的夹然是90度角】 ∴∠OAC=∠OCA, ∵AC//OP, ∴∠OAC=∠BOP, ∠OCA=∠COP,【前面是平行线间的同位角，后面是平行线间的内错角】 ∴∠COP=∠BOP, 又OP=OP, ∴△COP≌△BOP， ∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90度,【这是切线的性质：切线垂直于过切点的直径（半径）】 ∴∠OCP=∠OBP=90度，∴PC是⊙O的切线.【这是切线的判定定理：垂直于直径端点的直线是圆的切线】  解：(2)联结BC，则∠ACB=∠OPC=90度, 又∠CAB=∠OCA=∠COP, ∴△ABC∽△OPC， ∴AB/OP=AC/OC, 即2OC/(3AC/2)=AC/OC, ∴2OC^2=3AC^2/2, 即OC=根号3AC/2, ∴sin∠CPO=OC/OP=(根号3AC/2)/(3AC/2)=根号3/3. (3)当MC//BP时，AM+BM=d+f=AB,【参考答案很简便，但老黄觉得，参考答案唯一不足的地方就是没有指明d+f=AB或d+f=BC的情形，所以老黄的方法是，对这两种情况进行了特别交代】  否则过A作AD//CM交⊙O于点D，连接BD, 则BD=d+f. 在Rt△ABD中, BD<AB, 【根据直角边小于斜边。到这里就可以得到d+f<=AB=15的结论了】 当M点与B点重合时, BD=AC,【因为四边形ACBD是矩形，这里交代了最小值】  否则∠BAD=∠AMC>∠ABC,  从而BD>AC,【这里运用了“大角对大弦”，即较大的圆周长所对的弦较大。没错，这个定理书上是没有的，但我们不能只会使用教材书的定理】 综上可知，9<=d+f<=15. 这道题的图比较多，但其实并不需要全部画出来，比如最大值和最小值对应的两个图，都只需要画在草稿纸上就可以了。 |
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