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有些数学题，出题人的意图表示得不明显，甚至出现明显的歧义，特别是在相似三角形或全等三角形的存在性问题上，很多出题人都不讲明白，到底有没有顶点对应的问题，遇到这种情况应该怎么办呢？我们来看下面这道中考数学压轴题，明显就是出题人犯浑的典型。 如图,抛物线y=-x^2/2+3x/2+2与x轴交于点A,B, 与y轴交于点C. (1)试求A,B,C的坐标；(2)将△ABC绕AB中点M旋转180度，得到△BAD. ①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由； (3)在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？假设存在,请直按写出所有满足条件的P点的坐标；假设不存在，请说明理由.  分析：前面两小题三个问题都非常简单，完全就是送分题。只有第二小题的第二个问题，判断四边形形状时，容易错判为平行四边形。其实它是一个矩形，判断为平行四边形之后，还要继续判定它为矩形。 然而第三小题出题人就犯浑了。一般我们说，“△BMP与△BAD相似”，是包含顶点一一对应的关系的。即B点对应B点，M点对应A点，P点对应D点，并不存在其它对应的情况。如果包含其它情况，一般题目会是“以B，M，P为顶点的三角形与△BAD相似”，那样就包含了'△BMP与△BAD相似'，'△BPM与△BAD相似'，和'△PMB与△BAD相似'等情形。 然而这道题很明显的，△BMP与△BAD是不可能相似的，因为∠BMP=90度>∠BAD。然而也很明显的，经验会告诉我们，如果这样作答，肯定是错的。也就是说，出题人的真正意图是：“以B，M，P为顶点的三角形与△BAD相似”。 一个浑出题人，看似问题不大，其实问题大得不得了。以后我们在中考中，再遇到“△BMP与△BAD相似”这种情况，你说，要不要考虑成“以B，M，P为顶点的三角形与△BAD相似”呢？老黄认为，如果“△BMP与△BAD相似”本身已经有至少两种情形，就不必考虑后者。但如果“△BMP与△BAD相似”的情况，只有一种，甚至没有（太过容易推出没有），那么就应该考虑成“以B，M，P为顶点的三角形与△BAD相似”。 好了，下面我们来看解题过程吧： 解：(1)解方程-x^2/2+3x/2+2=0, 得x1=-1, x2=4, A(-1,0)，B(4,0)，C(0,2). 【老黄解题，一直都是力求简洁的】 (2)①设D(x,y), M(m,0), 则m=(4-1)/2=1.5, x/2=1.5, y=-2,∴D(3,-2).【这里运用的是：M是CD的中点，就同时在水平方向和竖直方向上，都是CD的中点.】  ②四边形ADBC是矩形，理由如下： ∵C, D关于点M中心对称，∴连接CD过M,且CM=DM, 又AM=BM，∴四边形ADBC是平行四边形， 在Rt△COM中，CM=根号(OC^2+OM^2)=2.5=AM， ∴CD=AM，∴四边形ADBC是矩形. (3)存在. P1(1.5,1.25), P2(1.5, -1.25), P3(1.5,5), P4(1.5, -5).  【按题意要求，下面这部分其实是不需要写进解题的过程中的】 记BC交抛物线对称轴于点P1, ∵BC//AD，∴∠MBP1=∠DAB, ∴Rt△BMP1∽Rt△ADB, 又MP1/OC=BM/OB=(4-1.5)/4=2.5/4. ∴MP1=2.5OC/4=5/4=1.25，P1(1.5,1.25). 取P1关于x轴的对称点P2(1.5,-1.25)，△BMP2 ≌△BMP1∽△ADB, 当MP3/MB=BM/MP1=2.5/1.25=2, 即MP3=2BM=5时，△P3MB∽△BMP1∽△ADB, P3(1.5,5), 取P3关于x轴的对称点P4(1.5,-5)， △P4MB∽△P3MB∽△ADB. 如果你在中考中遇到这样的浑题，你会怎么处理呢？ |
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