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老黄也是个懒惰之人，昨天研究问题，要用到x^(n+1)D(x)的可导性，虽然知道它只在x=0一阶可导，但并不知道是为什么。老黄又是一个爱装()的人，不能说个所以然，感觉心里就空荡荡。因此网上四处搜索“x^(n+1)D(x)为什么只在x=0一阶可导”，结果竟然找不到一个完整的答案。迫使老黄不得不自己动手探究这个问题。下面就是老黄的探究结果，分享给大家，以满足老黄爱装()的心理。  首先证明f(x)=x^(n+1)D(x)在x=0一阶可导，其中D(x)是迪利克雷函数，就是当x是有理数时,D(x)=1, 当x是无理数时，D(x)=0. 这一步非常简单，只要运用导数的定义公式，求得f(x)在x=0的值，就证明导数存在，从而证明了f(x)=x^(n+1)D(x)在x=0可导. f'(0)=lim(h->0)(f(h)-f(0))/h=lim(h->0)(h^(n+1)D(h))/h=lim(h->0)h^nD(h), 因为lim(h->0)h^n=0是无穷小量，且D(h)有界，所以f'(0)=0. 从而第一步得证。 接下来证明f(x)=x^(n+1)D(x)在x=x0不等于0不存在一阶导数。我们可以通过证明在x=x0不等于0，f(x)不连续，来证明一阶导数不存在，即不可导。因为连续是可导的必要条件。 为此，我们设任意x0不等于0，取ε0=|x0^(n+1)|/2，注意，这里的x0和n都是定值，所以ε0是一个定值。虽然n可以取不同的正整数，但一经取定，它就是一个定值了。 则对任意δ>0， 若x0是有理数，则总存在无理数x∈U(x0,δ),使得|x-x0|<δ， 且|x^(n+1)D(x)-x0^(n+1)|=|x0^(n+1)|>ε0，到这里就证明了f(x)=x^(n+1)D(x)在所有的非0有理数点上不连续，从而也不可导。 若x0是无理数，则总存在有理数x∈U(x0,δ),使得|x-x0|<δ， 且|x^(n+1)D(x)|=|x^(n+1)|>|x0^(n+1)|>ε0，注意，如果x0>0，就在U+(x0,δ)上取得x；如果x0<0，就要U-(x0,δ)上取得x. 总之符合条件的x总是存在的。到这里就证明了x^(n+1)D(x)在所有的无理数点上不连续，从而也不可导。 因此f(x)在x0不连续，从而f'(x0)不存在。那自然f(x)在x0的高阶导数更不可能存在了。那么f'(0)为什么不存在呢？ 因为f'(0)=lim(h->0)(f'(h)-f'(0))/h，而f'(h)不存在，自然f'(0)就不存在了。这就证明了x^(n+1)D(x)只在x=0一阶可导。 不过如果n同时也趋于无穷大，那么问题就会变得复杂得多，有兴趣的小伙伴们可以自己探究一下。 |
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