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这是北京中考数学的一道压轴题，老黄觉得题目出得特别有水平，能够真正考察考生的数学能力，需要即时为题目建立起一个数学模型，不然就很容易出错。我们一起来看看题目吧！ 在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：假设在图形M上存在一点Q，使得P, Q两点间的距离小于或等于1，那么称P为图形M的关联点. (1)当⊙O的半径为2时， ①在点P1(1/2,0), P2(1/2,根号3/2), P3(5/2,0)中, ⊙O的关联点是______. ②点P在直线y=-x上，假设P为⊙O的关联点，求P的横坐标取值范围. (2)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴, y轴交于点A, B. 假设线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出C的横坐标取值范围. 分析：(1)①第一小题的第一个问题很好解决，有很多不同的方法可以得到答案。但是我们应该寻找一种方法，为它建立一个模型，以便解决后面两个问题。假如只是为了解决第一个问题，而对后面两个问题没有帮助的话，那后面两个小题就要花很多时间，而且还容易出错。 那么到底应该怎么建立，或者说要建立什么样的数学模型呢？最好的办法，就是画草图来帮助理解。毕竟“有图有真相嘛”，如下图：  一目了然，⊙O的关联点都在蓝色的圆环内部。即点P到点O的距离OP在1到3之间，包括1和3，即1≤OP≤3. 这就是这道题的数学模型的一个部分，下面两题也都要用到这个模型。 接下来我们可以通过检验OP１＝1/2<1，就知道点P1不是⊙O的关联点；而OP2=1，OP3=5/2，都在1到3之间，所以⊙O的关联点是P2和P3. ②继续看第二个问：运用上面的数学模型，得到的图形如下：  可以发现，点P在第二象限时，OP=根号2 x, 点P在第四象限时，OP=-根号2 x。根据它们在1到3之间列不等式，就可以求得点C的横坐标的取值范围。解题过程如下： 解：(1)设②P(x,-x), 由1≤|OP|≤3, 有1≤根号2 x≤3或1≤-根号2 x≤3， 解得根号2/2≤x≤3根号2/2或-3根号2/2≤x≤-根号2/2. 第二个问关键的地方是，点P有两种情形，即在圆心O的左侧或右侧。已知圆的关联点在与圆同心，且r=1, R=3的圆环内，表示为关联点到圆心的距离在1到3之间，包括1和3。且分布在圆心的两侧，就是我们建立的这个数学模型的全部了。 (2)凡是压轴题要求直接写出结果的，你一个字也不要信它。我们可以设C点的坐标为(x,0)，然后表示出AC=|x-1|，和BC=根号(x^2+1)。  接下来我们作出AB在圆心C右侧的情形，这时，点C到AB的最小距离必须不小于1，这个最小距离等于AC除以根号2。另外，AC，和BC都必须不大于3.即 根号2 (1-2)/2>=1, 1-x<=3, 根号(x^2+1)<=3, 分别解得x<=1-根号2，x>=-2和-2根号2<=x<=2根号2。取交集，就得到-2≤x≤1-根号2。  再看AB在点C的左侧的情形，此时点C到AB最短距离不在线段AB上，所以不用考虑最短距离。而BC显然大于AC，所以只要AC不小于1，且BC不大于3，即x-1>=1, 根号(x^2+1)<=3，解得2≤x≤2根号2. 综上，C的横坐标取值范围为-2≤x≤1-根号或2≤x≤2根号2. 你对这道题有什么看法和想法，欢迎在评论区中留言，一起探讨一下！ |
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