中考数学：2015北京卷压轴题

题目：

在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为r，P是与圆心C不重合的点。点P关于圆C的反称点定义如下：若在射线CP上存在点Q，满足CQ+CP=2r，则称Q为P关于圆C的反称点。下图为示意图。特别的，当Q与C重合时，规定CQ=0.

1. 当圆O的半径为1时，

1. 分别判断点M（2，1），N（3/2，0），T（1，√3）关于圆O的反称点是否存在？若存在，求其坐标。

2. 点P在直线y=-x+2上，若点P关于圆O的反称点Q存在，且Q不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围。

2. 圆C的圆心在x轴上，半径为1.直线y=-x/√3+2√3与x轴交于A，与y轴交于B。若线段AB上存在点P，使得P关于圆C的反称点Q在圆C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围。

分析：

首先，分析反称点的定义给我们透露出的信息：

• P与圆心不重合

• Q位于射线CP上

• CQ+CP=2r

由定义中所透露的上述信息不难推出：

• CP＞0

• Q与P位于圆心的同一侧（当然，Q有可能与圆心重合）

• 0＜CP≦2r，0≦CQ＜2r

那么，当CP=0或CP＞2时，点P关于圆C无反称点；反之，0＜CP≦2r时，点P关于圆C存在反称点。依此，题目1的解题思路已经清晰。

其次，结合题目2的条件进行分析：

• 不难发现，y=-x/√3+2√3的与x轴、y轴所夹角分别是30度与60度，这将为题目2的计算带来便利。

• 接下来线判断直线y=-x/√3+2√3上存在点P，关于圆C有反称点时，C的横坐标应当满足什么条件。

过C作垂线交直线y=-x/√3+2√3于点D。那么任意点P，CP≧CD。所以，当CD＞2时，直线y=-x/√3+2√3上不存在点P；而当CD≦2时，直线y=-x/√3+2√3上至少存在点D，D关于圆C有反称点。

• 再来判断点P属于AB时，C应当满足什么条件。

• 当C在A点的左侧时，D属于AB。此时，显然满足点P属于AB的条件；

• 当C在A点的右侧时，D不属于AB，而是位于直线y=-x/√3+2√3在第四象限的部分。注意到，∠CAB=150度，此时AB上距离C最近的点，就是点A。仅当C在A点的右侧，只有满足CA≦2时，AB上存在点P，关于圆C有反称点。

• 通过观察图象，不难发现，在上述分析的情况下，均可以使Q位于圆C内部（当然，也可以通过对C横坐标范围分类讨论，进行严格的证明，不再赘述）。

解题：

1. 计算圆心O到各点的距离。

1. OM=√5＞2，ON=3/2＜2，OT=2。所以M关于圆O没有反称点，N、T关于圆O有反称点。根据反称点定义，这两个反称点分别位于射线ON和OT上。点N位于x轴，不难计算点N点反称点坐标为（1/2，0）；OT=2，则T的反称点与O的距离为0，即此反称点为圆心O。

2. 直线y=-x+2的点P坐标可以表示为（x，-x+2），计算OP=√（2x^2-4x+4)。由OP≦2，不难算出x的取值范围[0，2]。当P位于x轴时，Q位于x轴。此时x=2；当OP=2时，O与Q重合，此时x=0或2。这两种情况都需要排除，得到x的取值范围（0，2）。

3. 【多一种方法】关于题目b，可以利用y=-x+2与x轴和y轴夹角为45度，交点为（2，0）和（0，2）的特点进行推理和计算。此处不再赘述，但建议画出图像草稿，直观的思考，排查一些题干中描述的特殊情况，比如b中“Q不能位于x轴”这一特殊情况。

2. 通过之前的分析可知，∠CAO=30度，所以CD=2时，AC=4。此时C的横坐标为2或10；当CD＜2时，AC＜4。所以，直线y=-x/√3+2√3上存在点P，关于圆C存在反称点时，C的横坐标取值范围[2，10]。由之前的分析，当点P属于线段AB时，C位于线段OA或C在A点的右侧且满足CA≦2，即C的横坐标≦8。所以，C的横坐标取值范围为[2，8]。