【ILMT】乐趣源于细节：圆锥曲线x1 x2和y1y2之间的等量关系的应用

马上就要高考了，关于圆锥曲线，我再谈一谈我对高考圆锥曲线的认识。

从解题范式来讲，就我的个人印象而言，80%的圆锥曲线问题都是设线联立然后韦达定理整体代换，10%的问题可能需要设线解点和设点解点（解点的过程也会用到韦达），剩下10%的问题是其他类型（单动点设点，抛物线点参，双设点与整体构造等）。

设线韦达整体代换作为最重要的一种方法，要用好也需要一定的能力：

①条件和目标的代数化表达

翻译条件和目标的方式，很大程度上会影响运算量，而这需要经验的积累；

②高级的代换

韦达定理中x1+x2，x1x2,y1+y2,y1y2的大概形式非常固定，同种形式的量之间有等量关系，有时候可能用来作为整体代换的高级工具；

③重新构图

同样一个题图，不同的构图方式会对应不同的解法，不妨重新表述一下题设情境，看有没有更佳的构图方式；

④算理优化

主要是讲一些实用的运算技巧（称为运算习惯可能更加恰当），比如斜率之和的分离常数，斜率之积的点乘双根，整体换元的时机把握，齐次化联立构造斜率等；

⑤大局观

当题干涉及的直线比较多时，可以考虑这些直线之间是否有联系（比如斜率之间的等量关系）。

今天分享一道（半）原创题，具体谈其中两点：

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仔细看上述过程，不难发现：

①我们在求直线AB方程时，用到了x1+x2和y1y2的比值关系进行整体代换；

②我们在探究直线AB与双曲线是否相切时，我们并不是直接将其方程联立，而是先探究相切的一般性条件，再进行判断（相当于适时的换元）。

这道题难度不小，但这样拆解下来还是蛮舒服的。