2022新高考Ⅰ卷21题解析几何压轴题解法探究

2022新高考Ⅰ卷数学试题，网友称是近20年来史上第二难高考数学试题(网友公认史上最难为2003高考试题)．本文将对该卷21题解析几何压轴题，从不同的角度进行解析剖析．以期总结方法规律，优化思考方向，破解难点疑点，为广大的2023届高考师生提供有益的参考和帮助．

方法一： 直线双参+韦达法

【点评】联立方程韦达定理，是解析几何压轴大题最流行的方法套路．本题引入直线PQ的双参方程y=kx+m，参与计算变形，使得运算过程相对繁复，产生了较大的运算量．要想变形到(k+1)(m+2k-1)=0这一步，没有过硬的计算能力是很难达到的．

方法二： 直线单参+设点求点

【点评】直线过圆锥曲线上已知一点时，可尝试设点求点的套路求出另一点的坐标．本题引入直线AP的单参方程y-1=k(x-2)，可直接求出点P的坐标，用-k代换k立即可得点Q的坐标，从而顺利求得PQ的斜率．本解法思路清晰自然，单参变形所产生的运算量适中，无需特殊技巧．

方法三：点差法+整体代换

【点评】点差法在解决圆锥曲线上两点连线斜率有关问题时往往事半功倍．本题充分利用点差法及两点斜率公式，得到直线AP,AQ斜率的两种表达形式进行整体变形，轻松求得直线PQ的斜率．本解法运算简洁，思路清晰自然，求斜率事半功倍．

方法四：齐次化

【点评】齐次化在解决圆锥曲线同构问题上往往有奇效．本题直线AP,AQ的斜率具有相同的结构，即(y-1)/(x-2)的形式，于是可考虑构造关于y-1与x-2的二次齐次方程．直接将直线PQ的方程设为a(x-2)+b(y-1)=1，进行“１代换”，为齐次化带来了方便．本解法思路奇巧，运算简洁明了．但需要考生平时付出大量训练才能掌握此方法的精髓和技巧！

方法五： 坐标平移+齐次化

【点评】坐标平移后，在新坐标系下的齐次化过程更加直观自然．运算也变得简单明了了．

方法六： 参数方程法

【点评】直线参数方程的介入，使问题转化为对两参数t1,t2的讨论，思路自然，运算量适中．新教材《选择性必修第一册》P68的探究与发现栏目，对直线的参数方程进行了简单的介绍．所以新高考使用直线参数方程解题是被允许的．此方法同样需要考生付出大量训练才能掌握精髓和技巧！

【总结】

解决解析几何压轴题的方法策略主要有三种：

以上六种解决方案中，本人最青睐的是方法三点差整体变形法，轻巧灵动四两拔千斤！其次是方法二设点求点法，思路清晰自然运算简单明了！

你喜欢哪种方法？有没有其他的奇思妙解？欢迎朋友们留言讨论交流．