2022年河南省南阳市西峡县中考数学一模试卷及答案

   

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．下列各数中，最小的数是（　　）

A．1       B．0       C．﹣1       D．﹣2

2．如图，直线m₁∥m₂，直线m₃与m₁、m₂相交于点A、B，点C在直线m₁上，CB⊥m₃，∠1＝50°，则∠ACB等于（　　）

A．40°       B．50°       C．30°       D．45°

3．年20206月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）

A．2.2×10⁸                          B．2.2×10^﹣8      

C．0.22×10^﹣7                   D．22×10^﹣9

4．如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（　　）

A．       B．      

C．       D．

5．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：

鞋的尺码（cm）	24	24.5	25	25.5	26	26.5
销售数量（双）	2	7	18	10	8	3

则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（　　）

A．中位数       B．平均数       C．众数       D．方差

6．关于x的一元二次方程mx²+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜1                   B．m≤1       

C．m＜1且m≠0       D．m≤1且m≠0

7．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（　　）

A．（7+x）（5+x）×3＝7×5       

B．（7+x）（5+x）＝3×7×5      

C．（7+2x）（5+2x）×3＝7×5       

D．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5

8．如图，点D、E分别是△ABC的BC、AC边的中点，延长DE到F，使EF＝DE，连结AF、AD、CF，下列说法不正确的是（　　）

A．当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形      

B．当∠BAC＝90°时，四边形ADCF是菱形      

C．当AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形ABDF是正方形      

D．当AB＝AC，∠BAC＝90°时，四边形ADCF是正方形

9．如图，矩形ABCD的顶点A、B在两坐标轴上，OA＝OB＝2，BC．将矩形ABCD绕原点O顺时针每次旋转90°，则第2022次旋转后点C的坐标是（　　）

A．（3，﹣5）          B．（﹣5，﹣3）       

C．（﹣3，5）          D．（5，3）

10．如图（1），点P从平行四边形ABCD的顶点A出发，以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D路径匀速运动到D点停止．图（2）是△PAD的面积s（cm²）与运动时间t（s）之间的函数关系图象．下列说法：①平行四边形ABCD是菱形；②S_{平行四边形ABCD}＝50cm²；③BC上的高h_BC＝10cm；④当t＝24s时，S＝16cm²．其中正确的个数是（　　）

A．1       B．2       C．3       D．4

二、填空题。（每小题3分，共15分）

11．不等式组的解集是 　   　．

12．如图，在△ABC中，按下列步骤作图：

（1）以点C为圆心，以适当长度为半径作弧分别交BC、AC于M、N；分别以M、N为圆心，以大于长为半径作弧相交于G，作射线CG，交AB于D；

（2）以点D为圆心，以适当长度为半径作弧交AC于P、Q；分别以P、Q为圆心，以大于长为半径作弧相交于H，作直线DH交AC于E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 　   　cm²．

13．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是 　   　．

14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝1cm．将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．则边BC扫过的面积是 　   　cm²．

15．如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将△APE对折，点A落在点F处．已知AB＝6，AD＝4，连结CF、CE，当△CEF恰为直角三角形时，AP的长度等于 　   　．

三、解答题。（本大题共8个小题，满分75分）

16．（10分）计算：

（1）；

（2）．

17．（8分）某地质量监管部门对辖区内的甲、乙两家企业生产的某同类产品进行检查，分别随机抽取了50件产品并对某一项关键质量指标做检测，获得了它们的质量指标值s，并对样本数据（质量指标值s）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．该质量指标值对应的产品等级如下：

质量指标值	20≤s＜25	25≤s＜30	30≤s＜35	35≤s＜40	40≤s≤45
等级	次品	二等品	一等品	二等品	次品

说明：等级是一等品，二等品为质量合格（其中等级是一等品为质量优秀）；等级是次品为质量不合格．

b．甲企业样本数据的频数分布统计表如下（不完整）：

c．乙企业样本数据的频数分布直方图如下：

甲企业样本数据的频数分布表

分组	频数	频率
20≤s＜25	2	0.04
25≤s＜30	m
30≤s＜35	32	n
35≤s＜40		0.12
40≤s≤45	0	0.00
合计	50	1.00

d．两企业样本数据的平均数、中位数、众数、极差、方差如下：

	平均数	中位数	众数	极差	方差
甲企业	31.92	32.5	34	15	11.87
乙企业	31.92	31.5	31	20	15.34

根据以上信息，回答下列问题：

（1）m的值为　   　，n的值为　   　；

（2）若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为　   　；若乙企业生产的某批产品共5万件，估计质量优秀的有　   　万件；

（3）根据图表数据，你认为　   　企业生产的产品质量较好，理由为

　   　．（从某个角度说明推断的合理性）

18．（9分）如图，已知一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（3，m）、B（n，﹣3），Rt△AOC的面积等于3．

（1）求一次函数的解析式；

（2）直接写出不等式的解集；

（3）点P是一次函数y＝kx+b图象上的动点，若CP把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，求点P的坐标．

19．（9分）数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间测量一栋教学楼的高度．如图，在C点测得楼顶A点的仰角为45°，从C点经斜面CE到达高台上E点测得A点的仰角为22°，测得CD＝16米，EF＝3米．已知斜面CE的坡度i＝1：6.5，∠CDF＝90°，EF∥CD，点B、C、E在同一平面内，且点B、C、D在同一条直线上．求楼高AB．（参考数据：sin22°≈0.38，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

20．（9分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）若BD＝8，sin∠DBF，求DE的长．

21．（10分）某商场购进一批A型和B型音箱进行销售，其进价与标价如表：

	A型	B型
进价/元	45	25
标价/元	60	30

（1）该商场购进这两种音箱共300个，A型音箱按标价进行销售，B型音箱打九折销售，当销售完这批音箱后可获利3200元，求该商场购进这两种音箱的数量．

（2）两种音箱销售完后，若该商场计划再次购进这两种音箱120个，在不打折的情况下，如何进货，销售完这批音箱时获利最多且不超过进货价的30%？并求出此时这批音箱的总利润．

22．（10分）如图，直线y＝﹣2x﹣4与x轴交于点A，抛物线y＝ax²+4x+2a+1经过点（1，8），与x轴的一个交点为B（B在A的左侧），过点B作BC垂直x轴交直线于C．

（1）求a的值及点B的坐标；

（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，点B、C的对应点分别为点E、F．将抛物线y＝ax²+4x+2a+1沿x轴向右平移使它过点F，求平移后所得抛物线的解析式．

23．（10分）△ABC是等边三角形，点P在BC的延长线上，以P为中心，将线段PC逆时针旋转n°（0＜n＜180）得线段PQ，连接AP，BQ．

（1）如图1，若PC＝AC，画出当BQ∥AP时的图形，并写出此时n的值；

（2）M为线段BQ的中点，连接PM．写出一个n的值，使得对于BC延长线上任意一点P，总有MPAP，并说明理由．

 

答案与解析

一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1．【解析】∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，2＞1，

∴﹣2＜﹣1＜0＜1，

故最小的数是﹣2，

故选：D．

2．【解析】如图，

∵CB⊥m₃，

∴∠CBD＝90°，

∵∠1＝50°，

∴∠CBE＝∠CBD﹣∠1＝40°，

∵m₁∥m₂，

∴∠ACB＝∠CBE＝40°．

故选：A．

3．【解析】将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10^﹣8．

故选：B．

4．【解析】从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：

故选：A．

5．【解析】对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．

故选：C．

6．【解析】根据题意得m≠0且Δ＝2²﹣4m＞0，

所以m＜1且m≠0．

故选：C．

7．【解析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝3×7×5，

故选：D．

8．【解析】∵点D、E分别是△ABC的BC、AC边的中点，

∴AE＝EC，

∵EF＝DE，

∴四边形ADCF是平行四边形，

A、当AB＝AC时，∴AD⊥BC，∴四边形ADCF是矩形，说法正确；

B、当∠BAC＝90°时，∴AD＝DC，∴四边形ADCF是菱形，说法正确；

C、当AB＝AC，∠BAC＝90°时，无法得出四边形ABDF是正方形，说法错误；

D、当AB＝AC，∠BAC＝90°时，∴AD⊥BC，AD＝DC，∴四边形ABDF是正方形，说法正确；

故选：C．

9．【解析】如图，过点C作CE⊥x轴于点E，连接OC，

∵OA＝OB＝2，

∴∠ABO＝∠BAO＝45°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBE＝45°，

∵BC＝AD＝3，

∴CE＝BE＝3，

∴OE＝OB+BE＝6，

∴C（5，3），

∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，

则第1次旋转结束时，点C的坐标为（3，﹣5）；

则第2次旋转结束时，点C的坐标为（﹣5，﹣3）；

则第3次旋转结束时，点C的坐标为（﹣3，5）；

则第4次旋转结束时，点C的坐标为（5，3）；

…

发现规律：旋转4次一个循环，

∴2022÷4＝505···2，

则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（﹣5，﹣3）．

故选：B．

10．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

由图（2）可知，当0≤t≤10时，S逐渐增大，当t＝10时，S取得最大值50，

由图（1）可知，当点P和点D重合时，△PAD的面积最大，

∴AB＝10×1＝10（cm），

∵平行四边形ABCD的面积＝2S_△ABD＝50（cm²），

∴结论②正确；

由图（1）和图（2）知，当点B在BC上运动时，△ABD的面积不变，

∴BC＝10×1＝10（cm），

∴AB＝BC，

∴四边形ABCD是姜形，

∴结论①正确；

∵平行四边形ABCD的面积＝2S△ABD＝50（cm²），

∴BC·h_BC＝10h_BC＝50，

∴h_BC＝5（cm），

∴结论③错误；

设直线NK的解析式为S＝kt+b，

则，

解得：，

∴函数解析式为S＝﹣2.5k+75，

当t＝24时，S＝l5，

∴结论④错误；

故选：B．

二、填空题。（每小题3分，共15分）

11．【解析】不等式组，

由①得：x≤2，

由②得：x，

则不等式组的解集为x≤2．

故答案为：x≤2．

12．【解析】根据作图过程可知：CD平分∠ACB，DE⊥AC，

如图，过点D作DF⊥BC于点F，

∴DF＝DE＝2cm，

则△BCD的面积BC·DF6×2＝6（cm²），

故答案为：6．

13．【解析】用列表法表示所有可能出现的情况如下：

共有9种等可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，

∴两次都摸出白球的概率是，

故答案为：．

14．【解析】∵∠ACB＝30°，∠B＝90°，AB＝1cm．

∴AC＝2AB＝2cm，BCcm，∠BAC＝60°，

∴边BC扫过区域的面积为：S_扇形AC′C+S_△ABC﹣S_扇形AB′B﹣S_△AB′C′，

∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°到△AB'C'位置．

∴∠CAC′＝60°，AC′＝AC＝2cm，B′C′＝BCcm，AB′＝AB＝1cm．S_△ABC＝S_△AB′C′，

∴边BC扫过区域的面积为：S_扇形AC′C﹣S_扇形AB′B（cm²）．

故答案为：．

15．【解析】如图，当∠CFE＝90°时，

∵点E是AB的中点，

∴AE＝BE＝3，

∵沿直线PE将△APE对折，

∴AP＝PF，∠A＝∠EFP＝90°，∠AEP＝∠PEF，AE＝EF＝3＝BE，

∵∠PFE+∠CFE＝180°，

∴点P，点F，点C三点共线，

在Rt△BCE和Rt△FCE中，

 

∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL），

∴CF＝BC＝4，∠BEC＝∠FEC，

∴2∠PEF+2∠CEF＝90°，

∴∠PEC＝90°＝∠PEF+∠CEF，

又∵∠CEF+∠ECF＝90°，

∴∠PEF＝∠ECF，

又∵∠PFE＝∠CFE＝90°，

∴△PEF∽△ECF，

∴，

∴PFAP；

如图，当∠CEF＝90°时，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AD于N，

∵BC＝4，BE＝3，

∴CE＝5，

∵∠FEM+∠CEB＝90°＝∠CEB+∠BCE，

∴∠BCE＝∠FEM，

又∵∠FME＝∠B＝90°，

∴△BCE∽△MEF，

∴，

∴，

∴MF，ME，

∴AM，

∵FN⊥AD，FM⊥AB，∠A＝90°，

∴四边形AMFN是矩形，

∴AN＝FM，NF＝AM，

∵PF²＝NF²+PN²，

∴AP²（AP）²，

∴AP＝1，

故答案为：1或．

三、解答题。（本大题共8个小题，满分75分）

16．解：（1）原式＝11

＝11

；

（2）原式

 

 

．

17．解：（1）n＝32÷50＝0.64，m＝50×（1﹣0.04﹣0.64﹣0.12﹣0.00）＝10，

故答案为：10，0.64；

（2）若从甲企业生产的产品中任取一件，估计该产品质量合格的概率为：1﹣0.04＝0.96，

乙企业生产的某批产品共5万件，估计质量优秀的有：53.5（万件），

故答案为：0.96，3.5；

（3）我认为甲企业生产的产品质量较好，

理由：甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好，

故答案为：甲，甲企业抽样产品的极差与方差都小于乙企业，产品的稳定性更好．

18．解：（1）∵Rt△AOC的面积等于3，

∴·c＝3，

∴c＝6，

∴反比例函数为y，

∵反比例函数y的图象经过点A（3，m）、B（n，﹣3），

∴3×m＝6，﹣3n＝6，

解得m＝2，n＝﹣2，

∴A（3，2），B（﹣2，﹣3），

把A、B的坐标代入y＝kx+b得，

解得，

∴一次函数的解析式为y＝x﹣1．

（2）观察图象，不等式的解集为：﹣2＜x＜0或x＞3．

（3）作BM⊥x于M，BN⊥y轴于N，AF⊥y轴于F，则AC∥BM，

∴，

∵A（3，2），B（﹣2，﹣3），

∴AC＝2，BM＝3，

∴，

∴CD把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，

同理，

∴CE把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，

∵直线y＝x﹣1交坐标轴于D、E，

∴D（1，0），E（0，﹣1），

∵CP把△ABC分成面积比等于2：3的两部分，

∴P（1，0）或（0，﹣1）．

19．解：如图所示，延长FE交AB于G，过点E作EH⊥BD，则四边形EFDH和四边形BGEH都是矩形，

∴BG＝EH，DH＝EF＝3米，GE＝BH，

∴CH＝13米，

∵斜面CE的坡度i＝1：6.5，

∴1：6.5，

∴BG＝EH＝2米，

设AB＝x米，则AG＝AB﹣BG＝（x﹣2）米，

∵∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝45°＝∠ACB，

∴BC＝AB＝x米，

∴EG＝BH＝BC+CH＝（x+13）米，

∵tan∠AEG，

∴tan22°≈0.4，

∴x﹣2＝0.4x+5.2，

∴x＝12，

∴楼高AB约为12米．

20．解：（1）连接OD，

∵BD平分∠ABC交AC于点E，

∴∠ABD＝∠DBF，

∵OB＝OD，

∴∠ABD＝∠ODB，

∴∠DBF＝∠ODB，

∵∠DBF+∠BDF＝90°，

∴∠ODB+∠BDF＝90°，

∴∠ODF＝90°，

∴FD是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∵BD平分∠ABC交AC于点E，

∴∠DBF＝∠ABD，

在Rt△ABD中，BD＝8，

∵sin∠ABD＝sin∠DBF，

∴AD＝6，

∵∠DAC＝∠DBC，

∴sin∠DAE＝sin∠DBC，

在Rt△ADE中，sin∠DAC，

∴DE．

21．解：（1）设该商场购进A型音箱x个，B型音箱的数量为y个，

根据题意得：，解得，

答：设该商场购进A型音箱200个，B型音箱的数量为100个；

（2）设该商场购进A型音箱a个，这音箱泡的总利润为w元，则购进B型音箱（120﹣a）个，

根据题意得：w＝（60﹣45）a+（30﹣25）（120﹣a）＝10a+600，

∵10a+600≤[45a+25×（120﹣a）]×30%，

解得a≤75，

∵a＝75时，w最大，最大值为1350，此时购进B音箱120﹣75＝45（个），

∴该商场再次购进A型音箱75个，购进B型音箱45个，这批灯泡的总利润为1350元．

22．解：（1）令y＝0，则﹣2x﹣4＝0．

解得：x＝﹣2．

∴A（﹣2，0）．

∵抛物线y＝ax²+4x+2a+1经过点（1，8），

∴a+4+2a+1＝8．

∴a＝1．

∴抛物线的解析式为y＝x²+4x+3．

令y＝0，则x²+4x+3＝0．

解得：x＝﹣1或﹣3．

∵B在A的左侧，

∴B（﹣3，0）．

（2）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣3）﹣4＝2，

∴C（﹣3，2）．

∵A（﹣2，0），B（﹣3，0），

∴AB＝1．

∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°，点B、C的对应点分别为点E、F，

∴AE＝AB＝1，EF＝BC＝2．

∴E（﹣2，1），F（0，1）．

∵y＝x²+4x+3＝（x+2）²﹣1，

∴设沿x轴向右平移过点F的抛物线的解析式为y＝（x+2﹣m）²﹣1，

∴（2﹣m）²﹣1＝1．

∴m＝2±．

∴平移后所得抛物线的解析式为y1或y1．

即y＝x²﹣2x+1或y＝x²+2x+1．

23．解：（1）如图1所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，

又∵PC＝AC，

∴∠PAC＝∠APC，

∵∠ACB＝∠PAC+∠APC＝60°，

∴∠PAC＝∠APC＝30°，

∴∠BAP＝90°，

∵BQ∥AP时，

∴∠PBQ＝∠APC＝30°，∠BAP+∠ABQ＝180°，

∴∠ABQ＝90°，

连接CQ，过P作PQ'⊥BQ于Q'，则四边形ABQ'P是矩形，

∴AB＝PQ'，

由旋转的性质得：PC＝PQ，

∴PQ＝PC＝AC＝BC＝AB，

∴PQ'＝PQ，

∴Q'与Q重合，

∴QCBP＝BC，

∴∠CBQ＝∠CQB＝30°，

∴∠BCQ＝120°，

∴∠ACB+∠BCQ＝180°，

∴A、C、Q三点共线，

∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，

∴△PCQ是等边三角形，

∴∠CPQ＝60°，

即n＝60；

（2）n＝120．理由如下：延长PM至N，使得MN＝PM，连接BN，AN，QN，如图2所示：

∵M为线段BQ的中点，

∴四边形BNQP是平行四边形．

∴BN∥PQ，BN＝PQ．

∴∠NBP+∠CPQ＝180°，

∴∠NBP＝180°﹣∠CPQ＝60°．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．

∴∠ABN＝∠ACP＝120°．

∵以P为中心，将线段PC逆时针旋转120°得到线段PQ，

∴PQ＝PC．

∴BN＝PC．

在△ABN和△ACP中，

，

∴△ABN≌△ACP（SAS）．

∴∠BAN＝∠CAP，AN＝AP．

∴∠NAP＝∠BAC＝60°．

∴△ANP是等边三角形．

∴PN＝AP．

又 MPPN，

∴MPAP．