P和E的关系

作

不是巧合，能量就是关于动量的函数，动量更为基本。

你发现 ，

可以解出 ,这个就是非相对论下的动能表达式。

在非相对论经典物理里，要描述一个物体状态，用位置x和动量P就够了，也就是用x和x关于时间的一阶导数。

而物体的能量是关于x和p的函数，就是 ,第一项是动能，第二项是势能。

图一 非相对论能量-动量关系

可见当动量是0时，能量也是0，这是一个二次函数

相对论的贡献，就是发现这个式子是不对的，应该是

这里c是指光速，取c=1，则 ,这个在中学里，叫做双曲函数

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图二 相对论能量-动量关系

显然，当动量为0时，能量不再是0，我们就把动量静止时的能量，定义为质量，用m来表示。

（ 把 进行级数展开，则 ,可以看出，非相对论能量只是取了其中第二项）

当质量为0时， ，这个就是0质量物体的能量动量关系。

由 , ,我们可以得出 。这里 是频率，k是波矢，就是波长的倒数。

图三 0质量物体的能量-动量关系

0质量物体一般是什么呢？光。这个就是光的能量-动量关系。c是直线的斜率，也就是光速。

当一束光真空中运动时，参见图三，显然对于每一个波长，直线的斜率都一样，所以光不会分散。

但是对于有质量的物体，参见图一图二，不同波长（动量）对应的斜率（波速）是不一样的，这时候有的速度快，有的速度慢，就会分散开。所以， -k的关系，又叫做色散关系。

作者：闰文月
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历史上关于运动量度的争论

历史上，一种观点认为应该用物理量mv来量度运动的“强弱”；另一种观点认为应该用物理量 来量度运动的“强弱”。

主张以mv量度运动的代表人物是笛卡儿。他认为：“在物质中存在一定量的运动，它的综合在世界上永远不会增加也不会消失。”这实际上是后来所说的动量守恒定律的雏形。

主张以 量度运动的代表人物是莱布尼茨。他认为守恒的应该是 而不是 。

经过半个多世纪的争论，法国科学家达兰贝尔（d'Alembert,1717—1788）用他的研究指出，双方实际是从不同的角度描述了运动的守恒性。

用现在的科学术语说，就是：“力”既可以通过动量来表示

又可以通过动能来表示

因此，动能 决定了物体在力F的阻碍下能够运动多远；而动量mv则决定了物体在力F的阻碍下能够运动多长时间。也就是说，动量定理反映了力对时间的累积效应。动能定理反映了力对空间的累积效应。

这场争论一方面促进了机械能概念及整合能量概念的形成，并使人们对多种运动形式及其相互转变的认识更加深入；另一方面，动量与动量守恒定律也在争论中显示出了它们的重要性。

——高中物理3-5科学足迹

3月17日原文

动量和动能是对机械运动的两种量度。

冲量和动量是从力对时间的累积出发的。动量表达了机械运动传递的本领。

动量
牛顿第二定律可表示为 ，变形即

意义是，力F在dt时间内的累积效应等于质点动量的增量。

变力，积分(t和t0时刻)

功、能量等是从力对空间的累积效应出发的。动能反映了运动物体的做功本领。

动能

根据牛顿第二定律，有

两边同乘以路程微元ds

（左端为功）

又