【原】三角函数公式几乎用个遍，2022高考数学全国卷I三角函数经典问题

这是2022年高考数学全国卷I的一道关于三角形和三角函数的解答题。题目虽然并不是很难，但却很经典。因为它运用到了很多三角函数公式，几乎把公式都用了一个遍。

记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知cosA/(1+sinA)=sin(2B)/(1+cos(2B)).

(1)若C=2π/3，求B；

(2)求(a^2+b^2)/c^2的最小值.

分析：解决这类问题，首先肯定要从已知的等量关系中，转化出解题需要的式子来。观察已知等量关系，可以猜想转化过程要使用到倍角的正弦和余弦公式，它们分别是：

sin(2B)=2sinBcosB和cos(2B)=2(cosB)^2-1=1-2(sinB)^2. 代入已知等量关系后，化简，下一步该怎么做，就很难凭空想象出来了。只能是摸着石头过河了。

解：cosA/(1+sinA)=sin(2B)/(1+cos(2B))=2sinBcosB/(1+2(cosB)^2-1)=sinB/cosB.

【当然，接下来我们可以有很多不同的尝试，但基本上都是尝错的过程。如何能够提高一击必中的概率，就只能靠平时解题积累的经验，以及对题目的观察能力了。现在对上面得到的结果运用比例的基本性质，即“两内项的积等于两外项的积”，这是小学六年级数学下册所学的知识】

cosAcosB=sinB+sinAsinB,【注意观察，移项后，式子中有一个“和的余弦公式”的结果】

从而sinB=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC，【互为补角的余弦互为相反，基础知识要扎实. 从而根据互为余角的正弦等于余弦，以及相反的角度正弦相反，就可以得到】

(1)B=C-π/2=π/6.

【第二小题一看就知道，要运用“正弦定理”a/sinA=b/sinB=c/sinC=k. 随便给它们设一个比值。那么a=ksinA, b=ksinB, c=ksinC，代入原式，就得到】

(2)(a^2+b^2)/c^2=((sinA)^2+(sinB)^2)/(sinC)^2【然后想办法把它转化成一个关于某个角的正弦的函数】

=((sin(B+C))^2+(sinB)^2)/(sinC)^2【运用了互为补角正弦相等：sinA=sin(B+C)】

=((sinBcosC+sinCcosB))^2+(sinB)^2)/(sinC)^2【运用了和的正弦公式：sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB】

=(-(cosC)^2+(sinC)^2)^2+(cosC)^2)/(sinC)^2【运用了题干的结论，sinB=-cosC，从而有cosB=sinC. 这个关系有点理解起来有点困难。即sin(C-π/2)=-cosC；而cos(C-π/2)=sinC. 这些公式每一个都要记得牢牢的，特别是最后这个，感觉有点奇怪，拿特殊角度检验一下就可以了】

=((sinC)^2-1+(sinC)^2)^2+1-(sinC)^2)/(sinC)^2=(4(sinC)^4-5(sinC)^2+2)/(sinC)^2【这回又运用了正弦和余弦的平方和等于1的公式，以及完全平方的展开式】

=4(sinC)^2-5+2/(sinC)^2>=4根号2-5. 【到这里才可以运用均值不等式，如果一开始就对a^2+b^2运用均值不等式求最小值，那就大错特错了，因为ab并不是一个定值，所以不能。而这里的2sinC和根号2/sinC的积恒等于2根号2，因此就可以运用均值不等式了】

所以当4(sinC)^2=2/(sinC)^2，即sinC=1/四次根号2时，(a^2+b^2)/c^2=4根号2-5最小。【一定要保证最小值可以取到。否则就要取定义域端点的值了】

怎么样？这道题算是同类题型的经典了吧！