【原】最诡异的中考数学压轴题，来自2021年南京中考

这是一道来自2021年江苏省南京市中考数学的压轴题。老黄为什么说这是一道幽灵般的中考数学问题呢？看问题和题目的分析过程，您就会明白了。当然自己动手解解看，更能有深刻的体会。

已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像经过(-2,1),(2,-3)两点.

(1)求b的值；

(2)当c>-1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是_______.

(3)设(m,0)是该函数的图像与x轴的一个公共点，当-1<m<3时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围.

分析：(1)送分题，不过有人可能会在这道题上犯懵！因为二次函数有三个参数，感觉两个点解不出三个参数。如果您这样想，那就完蛋了。您管它解不解得出来，把两点坐标代进去列方程组试试看就行了。结果发现，原来两个方程三个未知数的方程组，也有可能解得我们要的某一个未知数的解的。瞧，第一小题就有点诡异的气氛了。

(2)相当于求二次函数的最(大或小)值 的最小值。像这样的要求，还是比较少见的。这个问题要分情况讨论。先求经过(-2,1),(2,-3)两点的直线斜率为：(-3-1)/(2-(-2))=-1. 并得到直线的解析式为y=-x-1. 

当a>0时，函数的图像如图1，不难发现，此时c<-1，不符合题意的，因此要排除。

当a<0时，函数的图像如图2，这个时候，c>-1，符合题意。而当A(-2,1)做为抛物线的顶点时，它的纵坐标1，就是所有可能的顶点中纵坐标最小的那个。因此第(2)小题的答案是：1.

答案分析出来，看起来就很简单，但如果不看答案，自己分析，就会觉得这个问题飘浮不定，很难捉摸，像鬼魅一样。

(3)有了上面两个图像，解决第(3)小题就没有那么难了，但仍属于很难把握的那一种。

首先，由图2可知，当a<0时，由直线AB交x轴于(-1,0)，可知抛物线与x轴的右交点在(-1,2)之间，因为它不可能在B点的右侧，所以-1<m<2，满足条件；

而当a>0时，由图1可知，因为左交点肯定在x=-1的左侧，而右交点肯定在x=2的右侧，所以m>2. 

(1)中已解得b=-1.将A(-2,1)代入二次函数的解析式，可得4a-2b+c=1，从而得到c=-1-4a。把(m,0)代入二次函数的解析式得到am^2-m+3-4a=0，解得m=(1+根号(1+4a+16a^2))/(2a)（已舍去不符合的左交点）.

由m<3，列得不等式(1+根号(1+4a+16a^2))/(2a)<3，并解得a<0或a>4/5. 刚好，这种情况下也有a<0这个解集。

两种情况下，取并集，得到a<0或a>4/5就是最后的答案。依题意，这个解题过程是不需要写进试卷中的。直接写出a的取值范围就可以了。因此真正需要写进试卷中的，只有(1)的解题过程：

解：(1)将(-2,1),(2,-3)代入二次函数，列方程组：

{4a-2b+c=1; 4a+2b+c=-3}，两式相减得-4b=4，所以b=-4.

【不难发现，只要已知两点的横坐标互为相反，就可以由两点坐标求得二次函数一般式中的参数b，即一次项的系数】

(2)答案为：1，填在题干中；

(3)a的取值范围为：a<0或a>4/5.

您有没有感受到这道题的神秘气息呢？