《趣味代数学》出生日期

掌握解不定方程的方法，就能和朋友们玩儿下面的游戏了。

【题目】请一位同学和你一起玩儿这个游戏，让他用自己出生的日子乘以12，用出生的月份乘以31，再计算出两个乘积的和，并把得数告诉你，然后你就能说出他的出生日期了。

举例来说，比如他的生日是2月9日，他会按你的要求做下面的计算：

9×12=108　2×31=62　108+62=170

算完后，他把最后的计算结果170告诉了你。

你该怎么确定他的生日呢？

【解题】设出生的那一天是x日，所在月份为y月，解出下面的方程式就可以知道同学的出生日期了：

由于x和y所代表的是日子与月份，因此不能大于31，y不能大于12，并且必须是正整数。

根据这个方程式可以推出：

对这个表达式进行如下的计算：

由，可得2+5y=12t：

由，可得：

代入y的表达式：

代入x的表达式：

根据已知条件31≥x>0和12≥y>0，确定t1的取值范围：

可见1t的值为0，代入x、y的表达式，方程的解为：

x=9，y=2

这位同学的生日是2月9日。

这道题还有一种不用方程的解法。假如用a表示和，我们已知yxa 3112+=，可知：

能被12除尽，则7y和a分别除以12后得到的余数相同。

事实上，把7y和a分别乘以7，得到的49y和7a分别除以12，得到的余数仍旧相同。

，48y能被12除尽。

综合以上分析可以判定，将y和7a分别除以12，得到的余数相等。或者说，当a不能被12除尽时，7a除以12得到的余数就是y，当a能被12除尽时，y的值就是12，即y=12。到这一步为止，y的数值就有了，那么接下来自然就能轻松地得到x的值。

在大家试着对本题进行计算时，我对大家有一个小小的建议，那就是在计算7a除以12之前，用a除以12所得的余数代替a来参与这个计算，难度会小很多。比如本题中，a的值是170，在计算7a除以12之前，我们先完成下面的心算：

现在已经得到结果：x=9，y=2。

向你的同学宣布吧，他的生日是2月9日！

为了解除你的后顾之忧，现在我们来证明一下这个游戏是否一贯可行，或者说，证明一下这个方程是否永远都会有一组正整数的解。

假设同学的计算结果是a，列出方程。

这里使用反证法。假设方程有两组正整数解，分别是x1、y1和x2、y2，并且x1、x2不大于31，y1、y2不大于12。则：

两个方程相减，得到一个新方程：

显然，方程式中的能被31除尽。根据已知，x1与x2都是整数且不等于31，因此它们的差一定小于31。但如果x1与x2不相等，不可能被31整除。

可见假设本题有两组解是不可行的。（俄.别莱利曼）