对解析函数所满足的柯西—黎曼方程做进一步的讨论。这两个方程的两边各自对两个自变量分别再求一次偏导数，就可以得到以下四个等式：把第一个等式和第四个等式联合起来，第二个等式和第三个等式也联合起来，消掉四个等式中的四个交叉导数项，就可以得到以下两个方程：这两个方程显示，解析函数的实部和虚部都是调和函数。在上一节的例子中， 就是一个调和函数。调和函数这个要求可以用来判断一个实变函数是否有资格做解析函数的实部或虚部。比如说，x²+y²这个函数就不是一个调和函数，用它做实部或虚部的复变函数不可能是解析函数。需要注意的是，即使一个复变函数的实部和虚部都是调和函数，它也不一定是解析函数。比如说 x²-y²+ixy 这个函数就不是解析函数，虽然它的实部和虚部都是调和函数，但是，它们不满足柯西—黎曼方程。因此，调和函数只是一个必要条件，而非充分条件。柯西—黎曼方程才是充分必要条件。将实变函数中的初等函数推广到复数域，就得到初等复变函数，可以验证，初等复变函数都是解析函数。初等复变函数的定义、性质、运算法则和求导公式与实变函数的情况类似。在物理学的研究中，在工程技术的应用计算中，经常用到的初等复变函数有幂函数、指数函数、三角函数和双曲函数，这些函数的形式与实变函数中对应的函数在形式上一模一样。以上给出的初等复变函数是最基本的解析函数，更复杂的解析函数可以用它们来构造。初等复变函数都是单值函数。然而，它们的反函数却是多值函数。最常遇到的一个反函数是根式函数。设想有两个复数 w 和 z ，如果这两个复数之间存在以下对应关系：我们就说 w 是 z 的根式函数，函数式的标记方式为：两个复数要相等，除了“实部和虚部分别相等”这个判断准则外，还有一个判断准则：这两个复数的模和辐角要分别相等。利用这个判断准则得到： 由于辐角具有多值性，对同一个 z 值，与 z-a 对应的辐角有无穷多个：其中 θ₀ 是 z-a 的辐角的主值。辐角的这种多值性对自变量本身的取值并没有影响，但是，对根式函数的取值却会产生影响，这种影响表现在根式函数的辐角上：把整数 n 的值代入根式函数的表达式中进行计算，结果发现，当 n 取遍所有可能的数值时，我们得到两个函数值。比如说，如果取 n=0 ，我们得到第一个函数值：
如果取 n 等于别的整数，就会重复地得到这两个函数值。因此，根式函数有两个函数值，函数的多值性来源于辐角的多值性。在实际的应用中，通常将 z-a 的辐角限制在一个周期内，得到一个单值分枝，称 a 为根式函数的枝点。在一个单值分枝内，一个自变量对应一个函数值。我们来看一个求根式函数的数值的简单的例子。规定 ，求根式函数当 z=2, i, -i 时的值。要求这个根式函数的值，首先要把 z-1 这个复数用指数方式表示出来，用图示方法来做这件事情最简单。在下面给出的三个图中，黄色箭头线所标记的矢量分别对应着 z=2, i, -i 时的复数 z-1 。用几何的方式把 z-1表示出来后，它的模和辐角就一清二楚了。由于我们已经把 z-1 的辐角限制在一个周期内，所以， z-1 的三个辐角 θ=0, 3π/4, 5π/4 ，这样，对应于自变量的每一个值，w 的辐角就是确定的：φ=θ/2 。于是，对应的三个函数值就可以求出来了。在上面的问题中，如果规定，那么，三个 z 值对应的 z-1 的辐角就分别等于 2π, 11π/4, 13π/4 ，相应地，根式函数的值也会发生变化。除了根式函数，比较常用的反函数还有对数函数，对数函数的定义是这样的：设想有两个复数 w 和 z ，如果这两个复数之间存在以下对应关系：在对数函数中，如果自变量 z 仍然用指数方式表示，那么，根据 w 与它的关系可知， w 一定是两项之和。受到这个关系的启发，把 w 按实部和虚部分解对数学运算更方便：由于 u 和 v 都是实数，利用上面的式子马上就可以得到以下等式：其中 w 的虚部 v 实际上就等于 z 的辐角。于是，对数函数的结果就确定了：从这个结果中可以看到，由于对自变量 z 的一个确定的值，辐角可以相差 2π 的任意一个整数倍，所以，相应的对数函数的虚部可以取无穷多个值。结果发现，对数函数也是多值函数，它的多值性还是来源于辐角的多值性。对应于自变量的每个值，有无穷多个函数值。在初等函数的反函数中，还有反三角函数，它们是这样定义的：它们都是对数函数和根式函数的变形或组合，因此，也是多值函数。不过，这些函数在课程中都不常用到。
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