【原】蝙蝠函数怎么求极值？看完您会明白，原来这么简单！

有一类函数的图像看起来像一只蝙蝠，一只倒吊着的蝙蝠，您也可以说它像一个倒吊的吸血鬼。当然，这是为了让大家对它有更深的印象，老黄给它起的一个名字。其实这类函数是最外层带绝对值符号的绝对值函数。

例如：求f(x)=|x(x^2-1)|的极值.

这样的函数其实是有两类极值点的。一类是函数本身的零点，因为f(x)>=0，这是绝对值的性质决定的。所以函数的零点必然在某个邻域上是最小值点，因此也是整个函数的极小值点。另一类是绝对值内部的内函数g(x)=x(x^2-1)的极值点。不过极值的性质可能发生变化。千万不要被上面的图像骗了，错误地以为这类极值一定是极大值。其实它有可能是极小值的。

不过有一点可以肯定的是，g(x)的极值，一定也是f(x)=|g(x)|的极值。当g(x)的极值大于0时，则f(x)保持这个极值的性质，极大值仍为极大值，极小值也仍为极小值；当g(x)的极值小于0时，f(x)就会改变这个极值的性质，g(x)的极大值变成f(x)的极小值，而g(x)的极小值就变成了f(x)的极大值。

明确了这些性质，我们再来看看这个问题到底要怎么解决：

第一步，先确定函数的定义域，连续性和可导的性质。虽然这并不一定是必要的，但却是非常有意义的。显然，这里f(x)是R上的连续函数，且仅在零点上存在不可导的可能性。

第二步，求这类函数的零点，有几个零点，就得到几个极小值点。且这些点通常是不可导的。但也未必所有零点都不可导。这是为什么呢？多动动脑筋，对学习大有好处。比如函数y=|x(x-1)^2|在零点x=1上就可导。您可以作出图像来，就可以得到印证，但如果想不明白，就要多看看老黄的图文或视频作品，其中的原理在老黄的作品中，多处地方有过介绍。

第三步，对函数求导。这时您可能会选择把原函数先化成分段函数。其实不一定要这样做，这里只需对g(x)=x^3-x求导，再乘以g(x)的符号性质就可以了。

第四步，得到导函数的零点，这些零点是原函数的稳定点。您可以选择利用极值的第一充分条件，来判断它们是否是极值点，是什么极值点。也可以进行：

第五步，求二阶导数，检验第四步中求得的稳定点。

前两步所求的是f(x)的第一类极值点，后三步求的是f(x)的第二类极值点。接下来组织解题过程：

解：f(x)是R上的连续函数, 【由于不可导点需要下面求得，所以这里没有介绍可导性】

当f(x)=0时, x=0或x=±1.

f’(x)=(3x^2-1)*sgn(x^3-x)，【sgn是取符号性质的函数，函数值是1或-1】

f”(x)=6x*sgn(x^3-x) (x≠0, ±1)，【不管一阶导数还是二阶导数，都要限定x≠0, ±1】

当f’(x)=0时，x=±根号3 /3，

又f”(根号3 /3)=-2根号<0, f”(-根号3 /3)=-2根号3<0，

∴f有极大值f(根号3/3)=f(-根号/3)=2根号3 /9. 【第二类极值】

又f(x)≥0，∴f有极小值f(0)=f(1)=f(-1)=0. 【第一类极值】

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