欧拉上帝公式：包括数学中最基本的常量e、i、π，哲学重要的0和1

欧拉公式：将数学中最基本的常量e、i、π，数学和哲学中最重要的0和1通过加号连接，放在同一个式子中，推导过程并不复杂，不是天掉下来的，结果很惊人

感觉自己数学不太好的读者请放心，全文只会出现最简单的初等代数、微积分和复变函数公式，如果看不懂。。。那就看图吧。。。

莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler，1707年4月15日～1783年9月18日）

欧拉公式：“宇宙第一”公式

这个公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。e、i、π这三个量的由来可见以下三文详细介绍：

1. 数学中最基本的自然常数e的由来，e代表欧拉（Euler）吗？
2. 数学中最有意思的符号之一虚数单位i的由来，i有物理意义吗？
3. 数学中最基本的常数之一圆周率π的由来以及计算机快速计算π算法

• 欧拉公式Euler's Identity
• 创立者：莱昂哈德·欧拉
• 意义：数学上有许多公式都是欧拉发现的，因此欧拉公式并不是某单一的公式，欧拉公式广泛分布于数学的各个分支中。
• 瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。

右眼瞎了的欧拉

这个公式是上帝写的么?欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域(包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等)最多著作的学者。

数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。数学小王子欧拉不是浪得虚名，各个领域都有他战斗过的足迹。欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力。他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名。不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。

关于e，有一个数学冷笑话：在一家专门关数学家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”这些数学家病人总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个病人淡淡地对他说，“我是e的x次方。”

真是深井冰的笑话。。。

高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家。”——高斯是另一个数学小王子，学生的噩梦。

而且它对数学领域的缔造也产生了广泛影响，如三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等都有她的倩影。

因此，数学家们评价它是“上帝创造的公式，我们只能看它却不能完全理解它”。

这个公式对物理学影响也非常巨大，如机械波论、电磁学、波动光学、量子力学等匍匐在她的脚下；难怪物理学家查德·费曼惊呼：欧拉恒等式不但是“数学最奇妙的公式”，也是现代物理学的定量之跟，因为她把最基本的5个数学常数简洁地连系起来，而且也将物理学中的圆周运动、简谐振动、机械波、电磁波、概率波等联系在了一起......

欧拉恒等式是：

其中e是自然常数（自然指数的底），i是虚数单位，π是圆周率。

这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction，它是复分析的欧拉公式特例。

复变函数中欧拉公式的推导如下：

这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式在

的展开式中把x换成±ix.

欧拉公式的数学物理意义

虚数i占有特殊的地位，认识这个公式就需先从i开始：

虚数i大家在高中接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数轴，在数轴上有一个红色线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段3，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。

我们知道乘-1其实就等于乘了两次 i，因i×i=-1，这样就使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢？

答案很简单：旋转了90度呗。

如果我们将这种运算放到坐标平面上来表示，则实轴与虚轴就构成了一组对称线段，我们再在0处安插一个垂直此线段的轴，这样就构成了一个平面，我们称之为复数平面；在这个平面上，我们可以看出，虚数i的功能就是旋转。

对于欧拉公式

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，当x=π时，则有

它对描述圆周运动的物理意义就是圆心位移为0，如下图：

这个公式的关键作用就是将正弦波统一成了简单的指数形式，我们来看看它图像上的涵义：

可见，欧拉公式所描绘的正是在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，这个点在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数，而右侧投影则是一个正弦函数。

现代物理学告诉我们，宏观宇宙的构成本质是旋转的，带有圆周运动和自旋性；微观世界也是旋转的，也带有圆周运动和自旋性，而欧拉公式描述的核心正是旋转与频率

其它领域的欧拉公式

拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R V- E= 2，这就是拓扑学中的欧拉定理 ，它于 1640年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n-m r= 2，此公式是图论中的欧拉公式。

欧拉公式的柯西证明

统计学特征函数用欧拉公式：随机变量X的特征函数定义为

1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑。表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。

费马-欧拉定理（费马大定理n=3的欧拉证明）