【原】复数的表示方法

一个复数是一对有序排列的实数(a,b)，其中a和b是两个任意的实数。复数满足如下的运算规则：如果有两对这样的实数，要把它们加起来，就要按照以下的运算规则相加：

称之为加法规则；如果要让他们相乘，则要按照以下的运算规则相乘：

称之为乘法规则。以上加法规则和乘法规则就是复数必须满足的两条规则。

可以将一个复数按照以下方式分解：

其中的a称为这个复数的实部，b称为这个复数的虚部，分别用以下的符号表示：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，则这两个复数相等。除了相等这种比较之外，复数是不能比较大小的。

在上面对复数的分解式中，出现了一个特殊的复数(1,0)，容易证明，这个复数具有与实数1相同的运算效果：

因此，当我们遇到(1,0)这个复数时，直接用1代替就行了；我们还遇到一个特殊的复数(0,1)，这是一个虚单位，为了书写方便，用小写英文字母i代表这个复数，它有这样的性质：

引入虚单位的简写符号之后，任意一个复数就可以写成以下简便的形式：

还有一个特殊的复数(0,0)，容易证明它具有与实数0相同的运算效果：

因此，以后凡是遇到(0,0)这个复数，就可以直接写成0。

除了加法和乘法，复数还有一种特殊的运算：复共轭运算。一个复数的复共轭被定义为：

也就是将一个复数的虚部改变一个正负号。不难看出，一个复数做了一次复共轭后再做一次复共轭，就还原为原来那个复数。一个复数与它的复共轭相乘给出一个实数：

复数的加法与乘法有相应的逆运算，它们是减法和除法。减法不用多说，减去一个复数就是加上这个复数的负数：

除法就有点麻烦了。当两个复数相除时，分母必然会出现一个复数，在这种情况下，我们就不能把相除的结果写成实部和虚部相加的形式。为了能够把复数相除的结果写成实部和虚部相加的形式，必须把分母变成一个实数。这时候，复数的复共轭这个概念就起作用了。在分子和分母上同时乘以分母的复共轭，就把分母变成了一个实数而不改变整个分数：

这样，就把两个复数相除的结果分解成实部和虚部相加的形式。

补充了复数的减法和除法之后，就有了复数的一套完整的四则运算。复数的四则运算满足交换律、结合律和分配律，并且还满足如下规则：

在平面上画一个直角坐标系，把它的横轴与复数的实部对应，纵轴与复数的虚部对应，就构成一个复平面。每一个复数都落在复平面的一个确定点上，复数与复平面上的点有一一对应关系。引入复平面后，一个复数与它的复共轭之间的关系就非常清楚了：它们关于x轴对称。

有了复平面，就可以用复平面上的自由矢量来表示复数。从原点向所研究的复数点作一个矢量，用这个矢量代表所研究的复数。用矢量的方式表示一个复数这种方法显示，复数的加减法运算满足平行四边形法则或三角形法则。复数的矢量表示法告诉我们，一个复数与它的复共轭相乘将给出这个复数在复平面上所处的位置到原点的距离。我们把这个距离叫做这个复数的模。

还可以用极坐标表示复数。在平面直角坐标系的基础上取极坐标系。当一个复数用矢量来表示时，这个矢量有一个长度，矢量的指向与x轴还有一个夹角，这个复数就可以表示成这样：

其中的r就是这个复数的模，而θ则被称为这个复数的辐角：

由复数的极坐标表示法马上得到这个复数的实部和虚部：

以及这个复数的复共轭：

复数的这种表示方式再次告诉我们怎样计算复数的模。复数的矢量表示法显示，0的辐角并不确定。由于三角函数具有周期性，因此，复数的辐角并不唯一，辐角具有多值性。

习惯上将一个复数的在半开区间之间的辐角值称为这个复数的辐角的主值，用以下的方式标记：

在极坐标表示法下，复数的乘法和除法运算变得很简单。两个复数相乘是这样运算的：

两个复数相除则是这样运算的：

在极坐标表示的基础上，定义复指数：

复指数的性质与实指数完全相同：

有了复指数的概念，一个复数就可以表示成如下简洁的形式：

在复数的指数表示法下，复数的乘法与除法运算更加简单。两个复数相乘就是这个样子的：

显然，它是直接利用了复指数的性质进行的。两个复数相除也一样：

我们已经将模为有限的复数与复平面上离开原点为有限远的点一一对应起来。也可以用复球面上的点表示这些有限远处的复数。在复平面上以原点为南极、垂直于复平面的方向为极向画一个直径为一个单位的球面。极轴与这个复球面上端的交点就是北极。

从北极点向复平面上的点引一条直线，这条直线必定与复球面交于某点，就用这个交点代表复平面上的复数。复平面与复球面的这种对应关系叫测地投影。

当利用复球面上的点来表示复数时，赤道上的点落在复平面的单位圆上。不难看出，如果让复平面上的点无限远离原点，它在复球面上对应的点就会无限靠近北极点。由此得到无穷远点在复球面上的对应点，这种对应显示，无穷远点的辐角也是不确定的。