【原】勒让德方程的泰勒级数解

勒让德方程是在科学研究中经常遇到的常微分方程，许多物理过程满足的微分方程在经过一系列数学变换后都会以勒让德方程的形式出现：

勒让德方程最基本的一个解是在原点的邻域得到的。由于原点是方程的常点，因此，在原点的邻域内的幂级数解必定是泰勒级数：

对这个级数求导数得到：

，

注意到在方程中二阶导数项会以 w′′ 和 z²w′′ 两种形式出现，为了使这两项级数在形式上相同，其中一项需要用到二阶导数的另一种级数形式。为了导出这个新的形式，引入一个新的求和指标，并注意到原来的 w′′ 级数的求和指标实际上是从 k=2 开始的，就得到 w′′ 的另一个表达式：

将方程的幂级数解式代入原方程中，就得到如下级数方程：

请留意在这个表达式中与 w′′ 相关的那两项，哪一项是用哪一个表达式的。把上述级数方程稍加整理，就得到以下方程：

如果一个级数方程的左边是一个无穷级数，而右边等于0，那么，方程成立的前提是这个无穷级数的每一个通项都等于0。对于幂级数而言，这个条件导致级数的每一个通项的系数等于0。由此可得，上述级数方程要成立，用大括号括起来的算式必须等于零。这个结论经过整理最终给出了系数之间的递推关系：

结果发现，所有系数都可以通过递推关系确定。有了系数之间的这个递推关系，只要给定初条件，就能唯一确定方程的解。

让我们尝试通过以上递推关系把所有系数求出来。在递推关系中，令 k=0，就得到 c₂ 的表达式：

再令 k=2，并考虑已经求得的 c₂，就得到 c₄：

按照这个方法，当 k=4 时，可以得到c₆：

到此为止，我们已经基本上看出偶幂项系数的表达式遵循怎样的规律了：

为了书写上的简便，我们尝试把这个系数表达式做一些整理：

引入一个简写符号：

偶幂项系数的上述表达式就可以写成以下简洁的形式：

我们再来看奇幂项的系数。当 k=1 时，由递推关系给出 c₃：

当 k=3 时，由递推关系及 c₃ 的表达成可以得到 c₅：

与此类推，当 k=5 时可以得到

由此可以发现奇幂项系数的构成规律：

与偶幂项的情况相似，把上述表达稍加整理后就得到一个简洁的表达式：

由递推公式可以明显地看出，奇幂项和偶幂项的系数是独立的，这个结果导致级数的奇幂项和偶幂项完全独立。于是，可以将级数分解成奇幂项和偶幂项之和：

利用系数的递推关系把偶幂项的系数用 c₀ 表示，奇幂项的系数用 c₁ 表示，方程的解就可以分解成两个互不关联的函数之和：

其中 w₁ 和 w₂ 这两个函数分别是如下形式的级数：

这样，任意给定一组初条件 c₀=s₀ 和 c₁=s₁，就可以得出方程的一个特解。而上面的组合函数 w(z) 正是方程的通解。

利用级数解法还可以得到方程在其他常点邻域内的级数解，这些解有各自的收敛区域，共同构成微分方程在复平面内的解。