【原】2022年苏州中考数学压轴题，面对特别乱的题怎么办？摸着石头过河

2022年江苏省苏州市中考数学的压轴题，是一道三角形问题，最后一问，特别乱，很难找到头绪。老黄也不会解，不过摸着石头过河，总算还是把它给解决了。

(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB，交AB于点Ｄ，DE//AC，交BC于点E.

①如果DE=1，BD=3/2，求BC的长；

②试探究AB/AD-BE/DE是否为定值. 如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(2)如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG,CD平分∠BCF,交AB的延长线于点D，DE//AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1, △CDE的面积为S2, △BDE的面积为S3,若 S1·S3=9S2^2/16,求cos∠CBD.

分析：(1)①第一小题的第一个问题，也不算送分题，当然相对第二小题，就简单了很多。它还给第二小题的解法提供了启发。图中有两组相似三角形，三角形BDE和三角形BAC是“A”型相似，还有三角形ACD和三角形DEB也相似。其实是三个三角形相似。只要证明它们相似，问题就可以解决了。

②第一小题的第二个问题反而更容易。关键是证明CE=DE，然后利用DE和AC互相平行，截取AB和BC所成的线段成比例，就可以解决了。

(2)第二小题给了几个面积的关系，和求cos∠CBD似乎没有什么关系。因此要想办法把面积的关系转化成为边与边的关系。然后类似(1)①，同样是利用图中两组相似三角形的关系，就可以转化出最后的答案了。下面组织解题过程：

解：(1)①∵∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠B, ∴CD=BD=3/2,

又DE//AC, ∴∠A=∠BDE, ∴△ACD∽△DEB, ∴AC/DB=CD/BE,

∴AC·BE=DB·CD=9/4, 又BC/BE=AC/DE,【第二组比例关系也可以运用“平行线截取线段成比例的基本事实”】

∴BC=AC·BE/DE=9/4.

②∵∠CDE=∠ACD=∠BCD, ∴CE=DE,

又AB/AD=BC/CE=(BE+CE)/CE=BE/CE+1=BE/DE+1,

∴AB/AD-BE/DE=1 是定值.

(2)记△BCD的面积为S,则S1/S=AD/BD, S2/S=CE/BC, S3/S=BE/BC,

由S1·S3=9S2^2/16，有AD·BE/(BD·BC)=9CE2/(16BC^2),

化简得：AD·BE/BD=9CE^2/(16BC),【化简之后依然很乱，猜想其中包含了一组相似三角形的边的比例关系】

∵∠BCF=2∠CBG, CD平分∠BFC，∴∠BCD=∠FCD=∠CBG,

又∠FCD=∠A+∠ADC, ∠CBG=∠BDE+∠E，

∵DE//AC, ∴∠A=∠BDE，∴∠ADC=∠E，∴△ACD∽△DBE，

∴AD/DE=CD/BE，又BD=CD,∴DE=CE, ∴AD=DE·CD/BE=CE·BD/BE,

∴CE·BD·BE/(BD·BE)=9CE^2/(16BC)，化简得：BC/CE=9/16.

记BC=9x, CE=16x，又△CDE∽△CBD，∴CD^2=CB·CE=144x^2, ∴BD=CD=12x,

过D作DG⊥CE于点G, 则BG=BC/2=9x/2, cos∠CBD=BG/BD=3/8.

绝大多数题目，摸着石头过河都是可以解出来的。关键是中考中时间有限，不仅要能解出来，还要能在规定的时间内完成，因此平时一定要多练习。不是题海战术，而是在练习中多动脑筋，总结经验，把这种摸着石头过河的方法练到非常纯熟，中考中，才能发挥它的作用。