|
在一维运动的问题中，竖直方向上的运动是我们最熟悉的一种运动形式。 前面已经讨论了利用初始条件推导位置与时间的函数关系的方法，接下来用一些具体的例子说明如何运用这些方法。物体在竖直方向上的运动是我们最熟悉的一种运动，就让我们以这种运动为例子吧。第一个例子还是物体的自由下落运动。自从伽利略以来，人们对物体的自由下落运动做了大量精密的研究。结果发现，在地面附近，任何物体在做自由下落运动时，加速度的数值大致上是一个常数，与物体所处的地理位置和高度无关，这就是我们熟知的重力加速度。这里所谓的“大致上是一个常数”实际上已经把由于地理位置、高度以及空气的阻碍作用对重力加速度的影响忽略了。由于粒子自始至终都做下落运动，选择竖直向下的方向为 轴的正向是方便的，在坐标轴的这种选择下， 。既然加速度与时间的依赖关系(在这个问题中加速度与时间无关)已知，利用前面的知识马上就可以得到，加速度的原函数 。如果一个粒子从静止开始自由下落，就必定有 。假定我们在粒子开始下落时按下计时器，则必定有 。利用这些已知条件可以得到 ，于是：知道了速度对时间的依赖关系，就可以进一步求解位置与时间的函数关系。由于 ，因此，速度的原函数如果将下落的起始位置选为坐标原点，则必定有 ，于是得到了这就是我们在开始讨论运动问题时，基于中学的知识而先入为主地引入的关系。再来看一个稍微复杂一点的例子，在地面附近竖直地向上抛一个球。在这个问题中，由于球在一开始是向上运动的，因此，一个很自然的选择就是顺应这个方向，取一根以球的抛出点为原点并且竖直向上的坐标轴。在坐标轴的这种选择下，球的加速度是重力加速度的负值：。与刚才那个例子相似，加速度的原函数。假定我们在按下计时器的一瞬间以的速度向上抛这个球，利用已经得到的速度的理论表达式就可以得到由于我们以球的抛出点为原点，因此，。由此得到球的空间位置与时间的依赖关系：当物体在竖直方向上运动时，位置和速度的这两个公式都是我们在中学时期就已经熟悉的。其实，上述两个问题也可以用定积分法进行求解，你要不要试一试呢？如果你做过尝试，你将会发现，对于这两个比较简单的问题，用定积分法进行求解会更简洁。不过，对于一些复杂的问题，定积分法可能就会显得累赘，在这种情况下，原函数法也许会略胜一筹。当然，原函数法也并不总是求解问题的灵丹妙药。对于一些更复杂的问题，甚至连原函数法也无从下手。为了求解复杂问题的微分方程，数学家和物理学家发明了许多不同的求解方法。由于微分方程的解的唯一性，这些不同的求解方法得到的结果是相容的。到目前为止，我们利用一种早就熟悉的、最常见的运动形式引出了求解运动学问题的基本思路。从下一个问题开始，我们将在这个基础上进一步讨论物体在三维空间中形式各异的运动，这些运动虽然在形式上看似复杂，但是，解决问题的基本思路与一维运动问题是相似的。
|
