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【题目】 （2022·北京）在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC． （1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB²＝AE²+BD²，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
【分析】 （1）本题比较简单，题目已经给出了图形，只需根据条件证明结论即可。
根据已知条件，可以得到△BDC≌△FEC（SAS），进而得到∠DBC=∠EFC，得到BD∥EF，又由于AF⊥EF，所以可以得到结论BD⊥AF。 （2）先根据题意补充图形。
观察图形，可以发现CD=CH，而且∠DHE=90°，而且题目有一个条件“AB²＝AE²+BD²”，但是明显没有相关的直角三角形。 通过以上的条件，基本思路就出来了。先根据“AB²＝AE²+BD²”进行转化，得到一个直角三角形，再得到∠DHE=90°，再利用斜边中线的性质得到DC=CH即可。 有了（1）的提示，且DC=CE，那么可以考虑补全倍长中线的模型。
倍长BC至F，使得CF=BC，连接AF与EF，那么就可以得到（1）中的三角形了。
如上图，可以得到△BDC≌△FEC（SAS），进而得到∠DBC=∠EFC，得到BD∥EF。 根据“AB²＝AE²+BD²”，可以得到△AEF为直角三角形，即∠AEF=90°。那么就可以得到∠DHE=∠AEF=90°，再利用直角三角形斜边中线的性质即可得到结论。 【总结】 本题主要考查倍长中线的方法，但是本题比较简单，第（1）问把方法和图形做了铺垫，只是稍微修改了一下条件而已。相比2020年北京的几何压轴题，难度小很多了。
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