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:如图△ABC中，D为BC上一点，AB=6√2，BC=8，∠DAC=∠B=45⁰，求BD的长。  解析：1已知条件一：∠B=45⁰。 因为∠B=45⁰，过点A作AE⊥AB，并交BC的延长线于点E，如下图所示， 所以△BAE是等腰直角三角形， 所以AB=AE，∠ABE=∠AEB=45⁰。  2已知条件二：∠DAC=45⁰。 因为∠DAC=45⁰， 所以过点A作AF⊥AD，且使AF=AD，并将EF连接起来，或者将△ADC沿AC翻折180⁰，如下图所示， 所以∠DAE=90⁰， 所以∠CAF=45⁰， 又AC=AC， 所以△ADC≌△ACF， 所以CD=CF。  3因为∠BAE=90⁰，∠DAC=45⁰， 所以∠1+∠2=45⁰， 又∠CAF=45⁰， 所以∠2+∠3=45⁰， 所以∠1=∠3， 又因为AB=AE，AD=AF， 所以△ABD≌△AEF， 所以EF=BD， ∠AEF=∠ABD=45⁰， 又∠AEC=45⁰， 所以∠CEF=∠AEC+∠AEF =45⁰+45⁰=90⁰， 所以△CEF是直角三角形。  4已知条件三：AB=6√2，BC=8。 令BD=x，则EF=x，CD=8-x， 即CF=CD=8-x， 在等腰Rt△BAE中， 因为AB=6√2， 所以BE=√2AB=6√2×√2=12， 所以CE=BE-BC=12-8=4； 在Rt△CEF中， 因为CF=8-x，EF=x，CE=4， 所以由勾股定理可得： (8-x)²=x²+4²， 解方程得x=3，即BD=3。 |
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